Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, анализ равновесий и линеаризация систем

Определение предмета задания:

Предмет: Дифференциальные уравнения (раздел математики, обычно изучаемый на высших математических курсах).
Раздел предмета: Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, анализ равновесий и линеаризация систем.

Шаг 1: Найдём все состояния равновесия системы

Исходная система уравнений

$\text{[}\{\begin{array}{l}\dot{u}=-\mu u+uv,\\ \dot{v}=1-\delta v+u^2,\end{array}\text{]}$,
где $\text{(}\mu >0\text{)}$, $\text{(}\delta >0\text{)}$, и $\text{(}\delta \mu <1\text{)}$.
Состояния равновесия находят, приравнивая правые части уравнений к нулю, то есть $\text{(}\dot{u}=0\text{)}$ и $\text{(}\dot{v}=0\text{)}$.

1.1. Уравнение для $\text{(}u\text{)}$

Из первого уравнения: $\text{[}-\mu u+uv=0.\text{]}$ Это уравнение можно переписать как: $\text{[}u(-\mu +v)=0.\text{]}$ Отсюда два случая:

• $\text{(}u=0\text{)}$, или
• $\text{(}\mu =v\text{)}$.

1.2. Уравнение для $\text{(}v\text{)}$

Теперь рассмотрим второе уравнение: $\text{[}1-\delta v+u^2=0,\text{]}$ которое можно переписать как $\text{[}\delta v=1+u^2,v=\frac{1+u^2}{\delta }.\text{]}$

1.3. Решение для случая $\text{(}u=0\text{)}$

Если $\text{(}u=0\text{)}$, то уравнение для $\text{(}v\text{)}$ становится $\text{[}v=\frac{1}{\delta }.\text{]}$ Таким образом, одна из точек равновесия системы — это $\text{(}(u_{\ast },v_{\ast })=(0,\frac{1}{\delta })\text{)}$.

1.4. Решение для случая $\text{(}v=\mu \text{)}$

Если $\text{(}v=\mu \text{)}$, подставим это в уравнение для $\text{(}v\text{)}$: $\text{[}\delta \mu =1+u^2,\text{]}$ откуда $\text{[}{u}^2=\delta \mu -1.\text{]}$ Для существования решения необходимо, чтобы $\text{(}\delta \mu >1\text{)}$. Это условие противоречит данному в задаче ($\text{(}\delta \mu <1\text{)}$). Поэтому решения для $\text{(}v=\mu \text{)}$ не существует.

1.5. Итог

Единственная точка равновесия — это $\text{(}(u_{\ast },v_{\ast })=(0,\frac{1}{\delta })\text{)}$.

Шаг 2: Линеаризация системы в точке равновесия

Описанная система:

$\text{[}\{\begin{array}{l}\dot{u}=-\mu u+uv,\\ \dot{v}=1-\delta v+u^2.\end{array}\text{]}$

Линеаризация:

Для линеаризации нужно вычислить якобиан системы. Якобиан $\text{(}J\text{)}$ — это матрица частных производных правых частей уравнений по переменным $\text{(}u\text{)}$ и $\text{(}v\text{)}$. $\text{[}J=\left(\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }u}(-\mu u+uv)& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }v}(-\mu u+uv)\\ \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }u}(1-\delta v+u^2)& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }v}(1-\delta v+u^2)\end{array}\right).\text{]}$

2.1. Первая строка:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }u}(-\mu u+uv)=-\mu +v,\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }v}(-\mu u+uv)=u.\text{]}$

2.2. Вторая строка:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }u}(1-\delta v+u^2)=2u,\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }v}(1-\delta v+u^2)=-\delta .\text{]}$

2.3. Якобиан в точке $\text{(}(u_{\ast },v_{\ast })=(0,\frac{1}{\delta })\text{)}$:

Подставим $\text{(}u=0\text{)}$ и $\text{(}v=\frac{1}{\delta }\text{)}$: $\text{[}J=\left(\begin{array}{cc}-\mu +\frac{1}{\delta }& 0\\ 0& -\delta \end{array}\right).\text{]}$

Ответ:

1. Единственное состояние равновесия системы: $\text{(}(u_{\ast },v_{\ast })=(0,\frac{1}{\delta })\text{)}$.
2. Линеаризованная система в точке равновесия $\text{(}(0,\frac{1}{\delta })\text{)}$ имеет якобиан: $\text{[}J=\left(\begin{array}{cc}-\mu +\frac{1}{\delta }& 0\\ 0& -\delta \end{array}\right).\text{]}$

Мы нашли, что $\text{(}(u_{\ast },v_{\ast })=(0,\frac{1}{\delta })\text{)}$ — единственная точка равновесия. Для линеаризации системы нам нужно найти якобиан системы в этой точке.