Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, анализ равновесий и линеаризация систем

Определение предмета задания:

Предмет: Дифференциальные уравнения (раздел математики, обычно изучаемый на высших математических курсах).
Раздел предмета: Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, анализ равновесий и линеаризация систем.

Шаг 1: Найдём все состояния равновесия системы

Исходная система уравнений

\[ \begin{cases} \dot{u} = -\mu u + uv, \\ \dot{v} = 1 - \delta v + u^2, \end{cases} \],
где \(\mu > 0\), \(\delta > 0\), и \(\delta\mu < 1\).
Состояния равновесия находят, приравнивая правые части уравнений к нулю, то есть \(\dot{u} = 0\) и \(\dot{v} = 0\).

1.1. Уравнение для \(u\)

Из первого уравнения: \[ -\mu u + uv = 0. \] Это уравнение можно переписать как: \[ u(-\mu + v) = 0. \] Отсюда два случая:

• \(u = 0\), или
• \(\mu = v\).

1.2. Уравнение для \(v\)

Теперь рассмотрим второе уравнение: \[ 1 - \delta v + u^2 = 0, \] которое можно переписать как \[ \delta v = 1 + u^2, \quad v = \frac{1 + u^2}{\delta}. \]

1.3. Решение для случая \(u = 0\)

Если \(u = 0\), то уравнение для \(v\) становится \[ v = \frac{1}{\delta}. \] Таким образом, одна из точек равновесия системы — это \((u_*, v_*) = (0, \frac{1}{\delta})\).

1.4. Решение для случая \(v = \mu\)

Если \(v = \mu\), подставим это в уравнение для \(v\): \[ \delta\mu = 1 + u^2, \] откуда \[ u^2 = \delta\mu - 1. \] Для существования решения необходимо, чтобы \(\delta\mu > 1\). Это условие противоречит данному в задаче (\(\delta \mu < 1\)). Поэтому решения для \(v = \mu\) не существует.

1.5. Итог

Единственная точка равновесия — это \((u_*, v_*) = (0, \frac{1}{\delta})\).

Шаг 2: Линеаризация системы в точке равновесия

Описанная система:

\[ \begin{cases} \dot{u} = - \mu u + uv, \\ \dot{v} = 1 - \delta v + u^2. \end{cases} \]

Линеаризация:

Для линеаризации нужно вычислить якобиан системы. Якобиан \(J\) — это матрица частных производных правых частей уравнений по переменным \(u\) и \(v\). \[ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial u}(-\mu u + uv) & \frac{\partial}{\partial v}(-\mu u + uv) \\ \frac{\partial}{\partial u}(1 - \delta v + u^2) & \frac{\partial}{\partial v}(1 - \delta v + u^2) \end{pmatrix}. \]

2.1. Первая строка:

\[ \frac{\partial}{\partial u}(- \mu u + uv) = - \mu + v, \] \[ \frac{\partial}{\partial v}(- \mu u + uv) = u. \]

2.2. Вторая строка:

\[ \frac{\partial}{\partial u}(1 - \delta v + u^2) = 2u, \] \[ \frac{\partial}{\partial v}(1 - \delta v + u^2) = -\delta. \]

2.3. Якобиан в точке \( (u_*, v_*) = (0, \frac{1}{\delta}) \):

Подставим \(u = 0\) и \(v = \frac{1}{\delta}\): \[ J = \begin{pmatrix} -\mu + \frac{1}{\delta} & 0 \\ 0 & -\delta \end{pmatrix}. \]

Ответ:

1. Единственное состояние равновесия системы: \((u_*, v_*) = (0, \frac{1}{\delta})\).
2. Линеаризованная система в точке равновесия \((0, \frac{1}{\delta})\) имеет якобиан: \[ J = \begin{pmatrix} -\mu + \frac{1}{\delta} & 0 \\ 0 & -\delta \end{pmatrix}. \]

Мы нашли, что \((u_*, v_*) = (0, \frac{1}{\delta})\) — единственная точка равновесия. Для линеаризации системы нам нужно найти якобиан системы в этой точке.