Системы линейных дифференциальных уравнений

Этот пример относится к предмету "Дифференциальные уравнения", а конкретно к разделу "Системы линейных дифференциальных уравнений". У нас дана система линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

\[ \begin{cases} x' = 3x - 2y, \\ y' = 2x + 8y. \end{cases} \]

Чтобы решить систему, найдем общее решение, используя метод собственных значений и собственных векторов матрицы коэффициентов.

Шаг 1: Запишем систему в матричной форме

Можно переписать систему уравнений в виде матрицы:

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \]

Шаг 2: Найдем собственные значения

Рассмотрим матрицу коэффициентов:

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}. \]

Чтобы найти собственные значения, решим характеристическое уравнение:

\[ \det(A - \lambda I) = 0, \]

где \( I \) — единичная матрица, а \( \lambda \) — искомые собственные значения.

Матрица \( A - \lambda I \):

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3 - \lambda & -2 \\ 2 & 8 - \lambda \end{pmatrix}. \]

Теперь найдем определитель этой матрицы:

\[ \det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(8 - \lambda) - (-2)(2) = (3 - \lambda)(8 - \lambda) + 4. \]

Раскроем скобки:

\[ (3 - \lambda)(8 - \lambda) = 24 - 8\lambda - 3\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 11\lambda + 24. \]

Теперь добавим оставшийся член:

\[ \det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 11\lambda + 24 + 4 = \lambda^2 - 11\lambda + 28. \]

Решим это квадратное уравнение:

\[ \lambda^2 - 11\lambda + 28 = 0. \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9. \]

Корни уравнения будут:

\[ \lambda_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{11 \pm 3}{2}. \]

Значит, собственные значения:

\[ \lambda_1 = \frac{11 + 3}{2} = 7, \quad \lambda_2 = \frac{11 - 3}{2} = 4. \]

Шаг 3: Найдем собственные векторы

Для \(\lambda_1 = 7\)

Решим систему для поиска собственного вектора:

\[ (A - 7I) \mathbf{v_1} = 0, \]

где \( \mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \).

Матрица \( A - 7I \):

\[ A - 7I = \begin{pmatrix} 3 - 7 & -2 \\ 2 & 8 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. \]

Теперь решим систему:

\[ \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

Решение системы:

\[ -4v_1 - 2v_2 = 0, \quad 2v_1 + v_2 = 0. \]

Из второго уравнения \( v_2 = -2v_1 \). Подставим в первое уравнение:

\[ -4v_1 - 2(-2v_1) = 0 \Rightarrow -4v_1 + 4v_1 = 0. \]

Верное равенство. Значит, собственный вектор можно записать в виде \( \mathbf{v_1} = v_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \). Для удобства выберем \( v_1 = 1 \), тогда:

\[ \mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}. \]

Для \(\lambda_2 = 4\)

Решим систему для собственного вектора для \( \lambda_2 = 4 \):

\[ (A - 4I)\mathbf{v_2} = 0. \]

Матрица \( A - 4I \):

\[ A - 4I = \begin{pmatrix} 3 - 4 & -2 \\ 2 & 8 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}. \]

Решим систему:

\[ \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

Из первого уравнения:

\[ -v_1 - 2v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = -2v_2. \]

Подставим это во второе уравнение:

\[ 2(-2v_2) + 4v_2 = 0 \Rightarrow -4v_2 + 4v_2 = 0. \]

Собственный вектор: \( \mathbf{v_2} = v_2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \). Для удобства возьмём \( v_2 = 1 \):

\[ \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

Шаг 4: Общее решение

Общее решение системы можно записать как линейную комбинацию собственных решений:

\[ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = C_1 e^{7t} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + C_2 e^{4t} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

Запишем компоненты \( x(t) \) и \( y(t) \) отдельно:

\[ x(t) = C_1 e^{7t} \cdot 1 + C_2 e^{4t} \cdot (-2) = C_1 e^{7t} - 2C_2 e^{4t}, \]

\[ y(t) = C_1 e^{7t} \cdot (-2) + C_2 e^{4t} \cdot 1 = -2C_1 e^{7t} + C_2 e^{4t}. \]

Таким образом, общее решение системы:

\[ x(t) = C_1 e^{7t} - 2C_2 e^{4t}, \]

\[ y(t) = -2C_1 e^{7t} + C_2 e^{4t}, \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные константы, которые нужно найти из начальных условий задачи, если они даны.

Мы нашли полное решение системы дифференциальных уравнений.