Решите однородным уравнение

Мы имеем задание из раздела обыкновенных дифференциальных уравнений, конкретнее — это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Задача состоит в нахождении решения уравнения: \[ y' = \sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}} + \frac{y}{x} \]

Шаг 1: Привести уравнение к однородному виду

Для удобства перепишем уравнение следующим образом: \[ \frac{dy}{dx} = \sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}} + \frac{y}{x} \]

В этом уравнении присутствуют комбинации \(\frac{y}{x}\), что позволяет предполагаем, что оно может быть решено методом подстановки \(v = \frac{y}{x}\). Такой метод часто применяется для однородных уравнений.

Шаг 2: Ввести замену переменных

Пусть \(v = \frac{y}{x}\), тогда \(y = vx\). Теперь найдем производную \(y\) по \(x\): \[ \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \]

Эту производную подставим в исходное уравнение: \[ v + x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}} + \frac{y}{x} \]

Учтем, что \(\frac{y}{x} = v\) и \(\frac{y^2}{x^2} = v^2\), тогда уравнение станет: \[ v + x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 - v^2} + v \]

Шаг 3: Упростить уравнение

Перенесем \(v\) из левой части в правую: \[ x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 - v^2} \]

Теперь у нас отделяемые переменные — переменные \(v\) и \(x\) можно разделить для интегрирования: \[ \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{dx}{x} \]

Шаг 4: Интегрирование

Интегрируем обе части уравнения. Левая часть имеет стандартную форму, интеграл которой — это арксинус: \[ \int \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \arcsin(v) \]

Правая часть — это интеграл от \(\frac{1}{x}\): \[ \int \frac{dx}{x} = \ln|x| \]

Итак, после интегрирования получаем: \[ \arcsin(v) = \ln|x| + C \]

Шаг 5: Возврат к переменной \(y\)

Теперь вернемся к исходной переменной \(y\). Напоминаем, что \(v = \frac{y}{x}\), поэтому: \[ \arcsin\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|x| + C \]

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.

Ответ: Общее решение уравнения