Решите дифференциальное уравнение.

Пример 1:

Решите дифференциальное уравнение:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решите дифференциальное уравнение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +0 r + 16 = 0
D=0² - 4*1*16=-64


Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r₁ = 4i
r₂ = - 4i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C'_i составляем систему уравнений:
C'₁cos(4x) + C'₂sin(4x) = 0
C'₁(-4sin(4x)) + C'₂(4cos(4x)) = (8x-2)*e^4x
Выразим C'₁ из первого уравнения:
C'₁ = -c₂tg(4x)
и подставим во второе. В итоге получаем:


Интегрируем полученные функции C'_i:
C₁ = + C₁
C₂ = + C₂
Записываем полученные выражения в виде:
C₁ = + C₁cos(4x)
C₂ = + C₂sin(4x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C₁ + C₂ = C₁cos(4x) + C₂sin(4x) 

Ответ: y = C₁ + C₂ = C₁cos(4x) + C₂sin(4x) 

Пример 3:

Решить линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

Решение от преподавателя: