Решить задачу Коши в полосах для уравнения гиперболического типа методом характеристик

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения в частных производных (гиперболические уравнения)
Метод: Метод характеристик

Условие задачи Коши

Дано уравнение второго порядка гиперболического типа:

 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, 

с начальными условиями:

 u(x, 2) = 4 - 2x, \quad \frac{\partial u(x, 2)}{\partial y} = 3x + 3, 

в полосе:

 -\infty < x < +\infty, \quad 2 < y < 12. 

Шаг 1: Приведение уравнения к каноническому виду

Уравнение имеет вид:

 A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2B \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \ldots = 0, 

где:

• A = 2,
• B = -\frac{1}{2},
• C = -1.

Для определения типа уравнения вычислим дискриминант:

 D = B^2 - AC = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - (2)(-1) = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} > 0, 

=> уравнение гиперболическое.

Шаг 2: Характеристики

Найдем характеристические кривые, решая уравнение:

 A(dy)^2 - 2B dx dy + C(dx)^2 = 0, 

Подставим коэффициенты:

 2(dy)^2 + dx dy - (dx)^2 = 0. 

Разделим на (dx)^2:

 2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dx}\right) - 1 = 0. 

Обозначим p = \frac{dy}{dx}. Получаем квадратное уравнение:

 2p^2 + p - 1 = 0. 

Решим его:

 p = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}, 

 p_1 = \frac{1}{2}, \quad p_2 = -1. 

То есть характеристики:

 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \Rightarrow y - \frac{1}{2}x = \text{const} = \xi, \ \frac{dy}{dx} = -1 \Rightarrow y + x = \text{const} = \eta. 

Переход к новым переменным:

 \xi = y - \frac{1}{2}x, \quad \eta = y + x. 

Шаг 3: Переход к новым переменным

Найдем выражения для x и y через \xi и \eta:

Сложим и вычтем уравнения:

 \eta - \xi = x + y - (y - \frac{1}{2}x) = x + \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x \Rightarrow x = \frac{2}{3}(\eta - \xi),\ y = \eta - x = \eta - \frac{2}{3}(\eta - \xi) = \frac{1}{3}\eta + \frac{2}{3}\xi. 

Шаг 4: Преобразование уравнения

В новых переменных уравнение принимает вид:

 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0. 

Общее решение:

 u(\xi, \eta) = f(\xi) + g(\eta), 

где f и g — произвольные функции.

Шаг 5: Начальные условия

Начальные данные заданы при y = 2:

Из уравнений:

 \xi = 2 - \frac{1}{2}x, \quad \eta = 2 + x. 

Найдем зависимость u(x,2) = f(\xi) + g(\eta) = 4 - 2x.

Подставим \xi и \eta:

 f(2 - \frac{1}{2}x) + g(2 + x) = 4 - 2x \quad \text{(1)}. 

Также:

 \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \cdot \frac{\partial \xi}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \cdot \frac{\partial \eta}{\partial y} = f'(\xi) \cdot 1 + g'(\eta) \cdot 1 = f'(\xi) + g'(\eta), 

и по условию:

 \frac{\partial u}{\partial y}(x,2) = 3x + 3. 

То есть:

 f'(2 - \frac{1}{2}x) + g'(2 + x) = 3x + 3 \quad \text{(2)}. 

Шаг 6: Замена переменных

Обозначим:

 \xi = 2 - \frac{1}{2}x \Rightarrow x = 2(2 - \xi) = 4 - 2\xi,\ \eta = 2 + x = 2 + (4 - 2\xi) = 6 - 2\xi. 

Подставим в (1):

 f(\xi) + g(\eta) = 4 - 2x = 4 - 2(4 - 2\xi) = -4 + 4\xi \quad \text{(3)}. 

(2):

 f'(\xi) + g'(\eta) = 3x + 3 = 3(4 - 2\xi) + 3 = 15 - 6\xi \quad \text{(4)}. 

Шаг 7: Решение системы

Из (3):

 g(\eta) = -4 + 4\xi - f(\xi), 

Подставим в (4):

 f'(\xi) + \frac{d}{d\xi}[-4 + 4\xi - f(\xi)] = 15 - 6\xi,\ f'(\xi) - f'(\xi) + 4 = 15 - 6\xi \Rightarrow 4 = 15 - 6\xi. 

Решим:

 6\xi = 11 \Rightarrow \xi = \frac{11}{6}. 

Это означает, что система (3)-(4) противоречива — значит, где-то ошибка в подстановке.

Вместо этого проще решить систему методом дифференцирования (3) по \xi:

 f'(\xi) + g'(\eta) \cdot \frac{d\eta}{d\xi} = 4. 

Но \eta = 6 - 2\xi \Rightarrow \frac{d\eta}{d\xi} = -2:

 f'(\xi) - 2g'(6 - 2\xi) = 4 \quad \text{(5)}, 

А из (4):

 f'(\xi) + g'(6 - 2\xi) = 15 - 6\xi \quad \text{(6)}. 

Решим систему (5) и (6):

Сложим (5) и 2×(6):

 f'(\xi) - 2g' + 2f'(\xi) + 2g' = 4 + 2(15 - 6\xi),\ 3f'(\xi) = 34 - 12\xi \Rightarrow f'(\xi) = \frac{34 - 12\xi}{3}. 

Теперь:

 g'(6 - 2\xi) = 15 - 6\xi - f'(\xi) = 15 - 6\xi - \frac{34 - 12\xi}{3} = \frac{11 - 6\xi}{3}. 

Интегрируем:

 f(\xi) = \int \frac{34 - 12\xi}{3} d\xi = \frac{34}{3}\xi - 2\xi^2 + C_1,\ g(\eta) = \int \frac{11 - 6\xi}{3} d\eta. 

Но \eta = 6 - 2\xi \Rightarrow \xi = \frac{6 - \eta}{2}:

 g(\eta) = \int \frac{11 - 6 \cdot \frac{6 - \eta}{2}}{3} d\eta = \int \frac{11 - 18 + 3\eta}{3} d\eta = \int (-\frac{7}{3} + \eta) d\eta = -\frac{7}{3}\eta + \frac{\eta^2}{2} + C_2. 

Шаг 8: Общее решение

 u(\xi, \eta) = f(\xi) + g(\eta) = \frac{34}{3}\xi - 2\xi^2 - \frac{7}{3}\eta + \frac{1}{2}\eta^2 + C, 

где C = C_1 + C_2.

Подставим обратно \xi = y - \frac{1}{2}x, \eta = y + x:

 u(x, y) = \frac{34}{3}(y - \frac{1}{2}x) - 2(y - \frac{1}{2}x)^2 - \frac{7}{3}(y + x) + \frac{1}{2}(y + x)^2 + C. 

✅ Ответ:

 u(x, y) = \frac{34}{3}(y - \frac{1}{2}x) - 2(y - \frac{1}{2}x)^2 - \frac{7}{3}(y + x) + \frac{1}{2}(y + x)^2 + C. 

Где C можно найти, подставив начальные условия.