Решить задачу Коши. В ответ ввести значение в точке x1

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение:
y dx = (x^2 - x) dy

Начальное условие:
y(2) = 2

Требуется найти y(4).

1. Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение в разделенных переменных:
y dx = (x^2 - x) dy

Разделим переменные:
\frac{y}{x^2 - x} dy = dx

2. Интегрируем обе части

Рассмотрим интеграл:
\int \frac{y}{x^2 - x} dy = \int dx

Интегрируем правую часть:
\int dx = x + C

Для левой части:
\int \frac{y}{x^2 - x} dy = \frac{y^2}{2(x^2 - x)}

Получаем общее решение:
\frac{y^2}{2} = x^3/3 - x^2/2 + C

3. Найдем постоянную C

Подставляем начальное условие y(2) = 2:

\frac{2^2}{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + C

\frac{4}{2} = \frac{8}{3} - \frac{4}{2} + C

2 = \frac{8}{3} - 2 + C

2 + 2 - \frac{8}{3} = C

C = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

4. Найдем y(4)

Подставляем x = 4:

\frac{y^2}{2} = \frac{4^3}{3} - \frac{4^2}{2} + \frac{4}{3}

\frac{y^2}{2} = \frac{64}{3} - \frac{16}{2} + \frac{4}{3}

\frac{y^2}{2} = \frac{64}{3} - 8 + \frac{4}{3}

\frac{y^2}{2} = \frac{64}{3} + \frac{4}{3} - \frac{24}{3}

\frac{y^2}{2} = \frac{44}{3}

y^2 = \frac{88}{3}

y = \sqrt{\frac{88}{3}}

Приблизительно:
y \approx 5.43

Ответ: y(4) \approx 5.43