Решить задачу Коши. В ответ ввести значение в точке х1

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (задача Коши)

Решение:

Дано дифференциальное уравнение:

 y \, dx = (x^2 - x) \, dy 

Начальные условия:

 y(2) = 2, \quad x_1 = 4. 

1. Преобразуем уравнение:

Перепишем его в стандартной форме:

 \frac{dx}{dy} = \frac{x^2 - x}{y}. 

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

 \frac{y \, dx}{x^2 - x} = dy. 

2. Интегрируем:

Рассмотрим интеграл:

 \int \frac{y \, dx}{x^2 - x} = \int dy. 

Разложим знаменатель:

 x^2 - x = x(x - 1). 

Используем метод разложения на простейшие дроби:

 \frac{1}{x(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}. 

Решая уравнение:

 1 = A(x - 1) + Bx, 

Подставляя  x = 1 , получаем  A = 1 .
Подставляя  x = 0 , получаем  B = -1 .

Следовательно:

 \frac{1}{x(x - 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1}. 

Теперь интегрируем:

 \int \frac{y \, dx}{x(x - 1)} = \int y \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1} \right) dx = \int dy. 

Получаем:

 y \ln |x| - y \ln |x - 1| = y + C. 

3. Найдем постоянную  C :

Используем начальное условие  y(2) = 2 :

 2 \ln 2 - 2 \ln 1 = 2 + C. 

Так как  \ln 1 = 0 , имеем:

 2 \ln 2 = 2 + C. 

Следовательно,

 C = 2 \ln 2 - 2. 

4. Найдем  y(4) :

Подставляем  x = 4 :

 y \ln 4 - y \ln 3 = y + (2 \ln 2 - 2). 

Заменим  \ln 4 = 2 \ln 2 :

 y (2 \ln 2 - \ln 3) = y + 2 \ln 2 - 2. 

Решая уравнение, получаем:

 y = \frac{2 \ln 2 - 2}{2 \ln 2 - \ln 3 - 1}. 

Численно:

 \ln 2 \approx 0.693, \quad \ln 3 \approx 1.099. 

Подставляем:

 y = \frac{2(0.693) - 2}{2(0.693) - 1.099 - 1} = \frac{1.386 - 2}{1.386 - 2.099} = \frac{-0.614}{-0.713} \approx 0.862. 

Ответ:

 y(4) \approx 0.862.