Решить задачу коши методом неопределенных коэффициентов

Данное задание относится к предмету дифференциальные уравнения, разделу линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Для решения задачи Коши y'' - y = x * e^x при условиях y(0) = 0 и y'(0) = 0 методом неопределенных коэффициентов, сначала решим соответствующее однородное уравнение y'' - y = 0.

1. Решим однородное уравнение:

Характеристическое уравнение для y'' - y = 0 имеет вид r^2 - 1 = 0. Решив его, получаем r = 1 и r = -1. Таким образом, общее решение однородного уравнения будет:

2. Найдем частное решение для неоднородного уравнения:

Правая часть уравнения имеет вид x * e^x. Для поиска частного решения y_p этой функции попробуем ввести решение в виде (Ax + B) * e^x, где A и B - определяемые коэффициенты.

Найдем производные:

• y_p = (Ax + B) * e^x
• y_p' = (Ax + B)' * e^x + (Ax + B) * (e^x)' = (A * e^x + Ax * e^x)' = A * e^x + (Ax + B) * e^x = Ax * e^x + B * e^x + Ax * e^x = (2Ax + B) * e^x
• y_p'' = (2A * e^x + (2Ax + B) * e^x) = (2A + (2Ax + B)) * e^x = ((2A + 2Ax + B) * e^x)

Подставив в уравнение, получаем:

y_p'' - y_p = ((2A + 2Ax + B) * e^x) - ((Ax + B) * e^x) = x*e^x.

Сравнивая коэффициенты при x и свободные члены, получим:

• 2A = A, что дает A = 1.

Подставив это значение обратно, получаем: (Ax + B) * e^x = x * e^x, что требует B = 0. Значит, частное решение y_p = x * e^x.

3. Объединим общее решение однородного уравнения и частное решение:

Общее решение неоднородного уравнения:

y = y_h + y_p = C1 * e^x + C2 * e^(-x) + x * e^x.

4. Определим постоянные C1 и C2, используя начальные условия:

Начальные условия: y(0) = 0 и y'(0) = 0.

Подставляем в общее решение:

y(0) = C1 * e^0 + C2 * e^0 + 0 * e^0 = C1 + C2 = 0,

y'(x) = C1 * e^x - C2 * e^(-x) + (1 + x) * e^x,

y'(0) = C1 * e^0 - C2 * e^0 + (1 + 0) * e^0 = C1 - C2 + 1 = 0.

Из этих уравнений можно выразить:

• C1 + C2 = 0
• C1 - C2 + 1 = 0

Решая систему уравнений, получаем:

• C1 = -1/2
• C2 = 1/2

Таким образом, общее решение задачи Коши будет:

y = -1/2 * e^x + 1/2 * e^(-x) + x * e^x.

y_h = C1 * e^x + C2 * e^(-x), где C1 и C2 – произвольные постоянные.