Решить задачу Коши и построить соответствующую интегральную кривую:y' = - y + 1, y(0) = 2

Условие:

Решить задачу Коши и построить соответствующую интегральную кривую: y' = - y + 1, y(0) = 2

Решение:

Это задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Для её решения можно использовать метод разделения переменных или метод интегрирующего множителя. В данном случае более удобным будет метод интегрирующего множителя. Дана система: \[ y' = -y + 1 \] \[ y(0) = 2 \] Рассмотрим дифференциальное уравнение \(y' = -y + 1\). Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его общее решение можно найти с помощью интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель для уравнения вида \(y' + P(x)y = Q(x)\), где \(P(x) = 1\) и \(Q(x) = 1\), находим как \(e^{\int P(x)dx} = e^{\int 1 dx} = e^x\). Умножим обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель: \[ e^x(y' + y) = e^x \] Левая часть является производной от произведения \(e^x y\) по правилу дифференцирования произведения: \[ \frac{d}{dx}(e^x y) = e^x \] Интегрируем обе части: \[ \int \frac{d}{dx}(e^x y) dx = \int e^x dx \] \[ e^x y = e^x + C \] Теперь разделим обе части на \(e^x\): \[ y = 1 + Ce^{-x} \] Найдем константу \(C\), используя начальное условие \(y(0) = 2\): \[ 2 = 1 + Ce^{0} \] \[ C = 2 - 1 \] \[ C = 1 \] Итак, частное решение задачи Коши с учетом начального условия: \[ y = 1 + e^{-x} \] Для построения соответствующей интегральной кривой, можно воспользоваться каким-нибудь программным обеспечением для построения графиков или просто отметить несколько точек с учетом частного решения и начертить график вручную, помня, что кривая должна проходить через точку (0, 2) и асимптотически приближаться к прямой \(y = 1\) с увеличением \(x\).