Решить задачу Коши и построить соответствующую интегральную кривую:y' = - y + 1, y(0) = 2

Это задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Для её решения можно использовать метод разделения переменных или метод интегрирующего множителя. В данном случае более удобным будет метод интегрирующего множителя. Дана система:

$\text{[}{y}^{\prime }=-y+1\text{]}$

$\text{[}y(0)=2\text{]}$

Рассмотрим дифференциальное уравнение $\text{(}{y}^{\prime }=-y+1\text{)}$. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его общее решение можно найти с помощью интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель для уравнения вида $\text{(}{y}^{\prime }+P(x)y=Q(x)\text{)}$, где $\text{(}P(x)=1\text{)}$ и $\text{(}Q(x)=1\text{)}$, находим как $\text{(}{e}^{\int P(x)dx}=e^{\int 1dx}=e^x\text{)}$. Умножим обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель:

$\text{[}{e}^x(y^{\prime }+y)=e^x\text{]}$

Левая часть является производной от произведения $\text{(}{e}^{x}y\text{)}$ по правилу дифференцирования произведения:

$\text{[}\frac{d}{dx}(e^{x}y)=e^x\text{]}$

Интегрируем обе части:

$\text{[}\int \frac{d}{dx}(e^{x}y)dx=\int e^{x}dx\text{]}$

$\text{[}{e}^{x}y=e^x+C\text{]}$

Теперь разделим обе части на $\text{(}{e}^x\text{)}$:

$\text{[}y=1+C{e}^{-x}\text{]}$

Найдем константу $\text{(}C\text{)}$, используя начальное условие $\text{(}y(0)=2\text{)}$:

$\text{[}2=1+C{e}^0\text{]}$

$\text{[}C=2-1\text{]}$

$\text{[}C=1\text{]}$

Итак, частное решение задачи Коши с учетом начального условия:

$\text{[}y=1+e^{-x}\text{]}$

Для построения соответствующей интегральной кривой, можно воспользоваться каким-нибудь программным обеспечением для построения графиков или просто отметить несколько точек с учетом частного решения и начертить график вручную, помня, что кривая должна проходить через точку (0, 2) и асимптотически приближаться к прямой $\text{(}y=1\text{)}$ с увеличением $\text{(}x\text{)}$.