Решить задачу Коши и построить соответствующую интегральную кривую:y' = - y + 1, y(0) = 2

Условие:

Решить задачу Коши и построить соответствующую интегральную кривую: y' = - y + 1, y(0) = 2

Условие: Решить задачу Коши и построить соответствующую интегральную кривую:

y' = - y + 1, y(0) = 2

Решение:

Это задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Для её решения можно использовать метод разделения переменных или метод интегрирующего множителя. В данном случае более удобным будет метод интегрирующего множителя. Дана система:

\[y=y+1\]

\[y(0)=2\]

Рассмотрим дифференциальное уравнение \(y=y+1\). Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его общее решение можно найти с помощью интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель для уравнения вида \(y+P(x)y=Q(x)\), где \(P(x)=1\) и \(Q(x)=1\), находим как \(eP(x)dx=e1dx=ex\). Умножим обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель:

\[ex(y+y)=ex\]

Левая часть является производной от произведения \(exy\) по правилу дифференцирования произведения:

\[ddx(exy)=ex\]

Интегрируем обе части:

\[ddx(exy)dx=exdx\]

\[exy=ex+C\]

Теперь разделим обе части на \(ex\):

\[y=1+Cex\]

Найдем константу \(C\), используя начальное условие \(y(0)=2\):

\[2=1+Ce0\]

\[C=21\]

\[C=1\]

Итак, частное решение задачи Коши с учетом начального условия:

\[y=1+ex\]

Для построения соответствующей интегральной кривой, можно воспользоваться каким-нибудь программным обеспечением для построения графиков или просто отметить несколько точек с учетом частного решения и начертить график вручную, помня, что кривая должна проходить через точку (0, 2) и асимптотически приближаться к прямой \(y=1\) с увеличением \(x\).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут