Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Нам нужно решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка:

\frac{dy}{dx} - 3x^2y = 2xe^{x^3}, \quad y(3) = 10e^{27}.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Уравнение уже представлено в линейной форме:

\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x),

где
p(x) = -3x^2, \quad q(x) = 2xe^{x^3}.

Шаг 2: Нахождение интегрирующего множителя

Интегрирующий множитель для линейного уравнения определяется как:

\mu(x) = e^{\int p(x) \, dx}.

Подставим p(x) = -3x^2:

\mu(x) = e^{\int -3x^2 \, dx} = e^{-x^3}.

Шаг 3: Умножение уравнения на интегрирующий множитель

Умножаем обе части уравнения на \mu(x) = e^{-x^3}:

e^{-x^3} \frac{dy}{dx} - 3x^2 e^{-x^3} y = 2xe^{x^3} \cdot e^{-x^3}.

Упростим правую часть:

e^{-x^3} \frac{dy}{dx} - 3x^2 e^{-x^3} y = 2x.

Левая часть уравнения теперь записывается как производная произведения:

\frac{d}{dx} \left( y \cdot e^{-x^3} \right) = 2x.

Шаг 4: Интегрирование обеих частей

Интегрируем обе части уравнения:

\int \frac{d}{dx} \left( y \cdot e^{-x^3} \right) dx = \int 2x \, dx.

Левая часть интегрируется тривиально:

y \cdot e^{-x^3} = x^2 + C,

где C — произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 5: Выражение для y

Умножим обе части на e^{x^3}, чтобы найти y:

y = \left( x^2 + C \right) e^{x^3}.

Шаг 6: Использование начального условия

Используем начальное условие y(3) = 10e^{27}. Подставим x = 3 и y = 10e^{27}:

10e^{27} = \left( 3^2 + C \right) e^{27}.

Упростим:

10e^{27} = \left( 9 + C \right) e^{27}.

Разделим на e^{27}:

10 = 9 + C.

Отсюда C = 1.

Шаг 7: Окончательное решение

Подставим значение C = 1 в общее решение:

y = \left( x^2 + 1 \right) e^{x^3}.

Ответ:

Решение задачи Коши:

y = \left( x^2 + 1 \right) e^{x^3}.