Решить задачу Коши для данного нелинейного дифференциального уравнения

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Нам нужно решить задачу Коши для данного нелинейного дифференциального уравнения:

y''y^3 + 4 = 0,
с начальными условиями:
y(0) = -1,
y'(0) = -2.

Решение:

1. Перепишем уравнение в удобной форме:
   Уравнение имеет вид:
   y''y^3 + 4 = 0.
   Разделим обе части на y^3 (предполагается, что y \neq 0):
   y'' + \frac{4}{y^3} = 0.

2. Введем замену переменных:
   Пусть v = y'. Тогда y'' = \frac{dv}{dy}, и уравнение переписывается как:
   \frac{dv}{dy} + \frac{4}{y^3} = 0.

3. Решим уравнение для v:
   Это уравнение первого порядка относительно v. Перепишем его:
   \frac{dv}{dy} = -\frac{4}{y^3}.
   Интегрируем обе части:
   \int dv = \int -\frac{4}{y^3} \, dy.

Левая часть дает:
v = y'.

Правая часть:
\int -\frac{4}{y^3} \, dy = \frac{4}{2y^2} = \frac{-2}{y^2}.

Таким образом,
v = y' = C_1 - \frac{2}{y^2},
где C_1 — произвольная постоянная интегрирования.

4. Используем начальные условия для нахождения C_1:
   Из условия y'(0) = -2 и y(0) = -1:
   -2 = C_1 - \frac{2}{(-1)^2}.
   -2 = C_1 - 2.
   C_1 = 0.

Тогда:
y' = -\frac{2}{y^2}.

5. Решим уравнение для y:
   \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{y^2}.
   Перепишем:
   y^2 \, dy = -2 \, dx.

Интегрируем обе части:
\int y^2 \, dy = \int -2 \, dx.

Левая часть:
\int y^2 \, dy = \frac{y^3}{3}.

Правая часть:
\int -2 \, dx = -2x + C_2.

Получаем:
\frac{y^3}{3} = -2x + C_2.

Умножим на 3:
y^3 = -6x + C_3,
где C_3 = 3C_2.

6. Используем начальные условия для нахождения C_3:
   Из условия y(0) = -1:
   (-1)^3 = -6 \cdot 0 + C_3.
   -1 = C_3.

Тогда:
y^3 = -6x - 1.

7. Ответ:
   Решение задачи Коши:
   y = \sqrt[3]{-6x - 1}.