Решить задачу Коши.

Пример 1:

Решить задачу Коши:

Учесть 5 членов разложения.

Решение от преподавателя:

Представим решение задачи степенным рядом с неопределёнными коэффициентами (рассматриваем 5 членов разложения):

Из начальных условий находим:

т.е. . Подставляя в уравнение, получаем:

Ответ: .

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Дано линейное ДУ – ищем решение в виде y=uv. Подставляя в уравнение, получаем:

Находим такую функцию v, для которой выражение в скобках тождественно равно нулю:

Подставляя найденную функцию в исходное уравнение, получаем:

Константу С находим из начального условия:

Ответ: .

Пример 3:

Решить задачу Коши:

Решение от преподавателя:

y'-y/x=x*sin(x)

Представим в виде:

y'-y/x = x*sin(x)

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*x, y' = u'x + u.

u'x = x*sin(x)

Представим в виде:

u' = sin(x)

Интегрируя, получаем:

Учитывая, что y = u*x, получаем:

y = u*x = Cx-x*cos(x)

Найдем частное решение при условии: y(pi/2) = 1

y(pi/2) = Cx-x*cos(x) = 1

Откуда: c1 = Cpi/2-pi/2cos(pi/2)

Таким образом, частное решение имеет вид:

y(pi/2) = cos(pi/2)+1/(pi/2)=2/pi

Пример 4:

Найти решение задачи Коши:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти решение задачи Коши:

Решение от преподавателя:

Представим в виде:

-y/(x+2)+y' = x²+2x

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y' = u'v + uv'.

-u*v/(x+2)+u*v'+u'v = x²+2x или u(-v/(x+2)+v') + u'v= x²+2x\

Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:

u(-v/(x+2)+v') = 0

u'v = x²+2x

Приравниваем u=0, находим решение для:

-v/(x+2)+v' = 0

Представим в виде:

v' = v/(x+2)

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = ln(x+2)

v = x+2

Зная v, Находим u из условия: u'*v = x²+2*x

u'x+2u' = x²+2x

u' = x

Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:

y = u*v = (C+x²/2)*(x+2)

или

y = Cx+2C+x³/2+x²

Найдем частное решение при условии: y(-1) = 1.5

y(-1) = (-1³)/2+-1²+-C+2C = 1.5

Откуда:

c₁ = (0.5(1³-2-1²+3))/(-1+2)0,5

Таким образом, частное решение имеет вид:

Y(x)=0,5x+1+x³/2+x²

Пример 6:

Решить задачу Коши: 

Решение от преподавателя:

Решение:

Это однородное уравнение. Представим его в виде:

или

Интегрируя, получаем:

Откуда:

y=C

Найдем частное решение при условии: y(1/4) = pi/3

Откуда:

C = -(x·ln(cos(2·y)-1))/2+x·ln(cos(y)²)/2+x·ln(2)/2+(ln(cos(2·y)-1))/4+ln(sin(2·y))/2-ln(cos(y)²)/4+cos(y)²-1/2-ln(2)/4

Таким образом, частное решение имеет вид:

x·ln(cos(2·y)-1)-x·ln(cos(y)²)-x·ln(2)-(ln(cos(2·y)-1))/2-(ln(sin(2·y)/2))/2-ln(sin(2·y))/2+ln(cos(y)²)/2-2·cos(y)²+1=0

Пример 7:

Найти решение задачи Коши: 

Решение от преподавателя:

x·yʹ+y²·(ln(x)+2)·ln(x)-y = 0

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных:

y=u*x, y' = u'x + u.

u²·x²·(ln(x)+2)·ln(x)-u·x+x·(u+uʹ·x) = 0

или

u²·x²·ln(x)²+2·u²·x²·ln(x)+uʹ·x² = 0

Представим в виде:

uʹ = -u²·(ln(x)+2)·ln(x)

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

Учитывая, что y = u*x, u=y/x получаем:

Найдем частное решение при условии: y(1) = 1

y(1): x·ln(x)² +С= 1

Откуда:

c₁ = 1

Таким образом, частное решение имеет вид:

Пример 8:

Найти решение задачи Коши:

Решение от преподавателя: