Решить задачу Коше

Определение предмета и раздела задания

Задание относится к предмету математика, в частности к разделу дифференциальные уравнения. Мы будем использовать метод численного решения для дифференциального уравнения - метод Рунге-Кутты 4-го порядка для решения задачи Коши.

Заданное дифференциальное уравнение

\[ y' - y = 2 \cos 2x - \sin 2x - 1 - x \] \[ y(0) = 2 \]

Преобразование уравнения

Перепишем уравнение в стандартной форме:

\[ y' = y + 2 \cos 2x - \sin 2x - 1 - x \]

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Формулы для метода Рунге-Кутты 4-го порядка следующие:

\[ k_1 = h f(x_n, y_n) \] \[ k_2 = h f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2}\right) \] \[ k_3 = h f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_2}{2}\right) \] \[ k_4 = h f(x_n + h, y_n + k_3) \] \[ y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \] где \( f(x, y) = y + 2 \cos 2x - \sin 2x - 1 - x \).

Шаг 1: Начальные условия и параметры

• Начальное значение: \( y(0) = 2 \)
• Шаг \( h = 0.002 \)
• Интервал \[ [0, 5] \]

Шаг 2: Реализация метода Рунге-Кутты

Python программа для численного решения

```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Заданное уравнение def f(x, y): return y + 2 * np.cos(2 * x) - np.sin(2 * x) - 1 - x # Метод Рунге-Кутты 4-го порядка def runge_kutta_4th_order(f, y0, x0, h, x_end): x = np.arange(x0, x_end+h, h) y = np.zeros(len(x)) y[0] = y0 for i in range(0, len(x)-1): k1 = h * f(x[i], y[i]) k2 = h * f(x[i] + h/2, y[i] + k1/2) k3 = h * f(x[i] + h/2, y[i] + k2/2) k4 = h * f(x[i] + h, y[i] + k3) y[i+1] = y[i] + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6 return x, y # Начальные условия y0 = 2 x0 = 0 x_end = 5 h = 0.002 # Решение x, y = runge_kutta_4th_order(f, y0, x0, h, x_end) # Построение графика plt.plot(x, y, label='Численное решение (Метод Рунге-Кутты 4-го порядка)') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('Решение задачи Коши методом Рунге-Кутты 4-го порядка') plt.legend() plt.grid(True) plt.show() ```

Шаг 3: Интерпретация результатов

Запустив приведенный выше код, вы получите график численного решения задачи Коши на интервале \([0, 5]\) с шагом 0.002. Это графическое представление функции \( y(x) \), которая удовлетворяет заданное дифференциальное уравнение при начальном условии \( y(0) = 2 \).