Решить задачу Гурса

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел: Уравнения с частными производными (задача Гурса)

Рассмотрим уравнение:
 U_{xx} + 2U_{xy} + U_{yy} + 3U_x - 4U_y = 0 

1. Определение типа уравнения

Общее уравнение второго порядка с частными производными имеет вид:
 A U_{xx} + 2B U_{xy} + C U_{yy} + D U_x + E U_y + F U = 0 

В нашем случае:

• A = 1,
• B = 1,
• C = 1,
• D = 3,
• E = -4.

Определим характеристическое уравнение:
 A \lambda^2 + 2B \lambda + C = 0 
Подставляем значения:
 1 \lambda^2 + 2(1) \lambda + 1 = 0 
 \lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0 
 (\lambda + 1)^2 = 0 
Отсюда корень:  \lambda = -1  (двукратный корень).

Так как характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня, уравнение является параболическим.

2. Переход к характеристическим координатам

Введем новые переменные:
 \xi = x - y, \quad \eta = x + y 

Найдем производные:
 \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta} 
 \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial \xi}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \eta} = -\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta} 

Вторые производные:
 U_{xx} = U_{\xi\xi} + 2U_{\xi\eta} + U_{\eta\eta} 
 U_{yy} = U_{\xi\xi} - 2U_{\xi\eta} + U_{\eta\eta} 
 U_{xy} = U_{\eta\eta} - U_{\xi\xi} 

Подставляем в уравнение:
 (U_{\xi\xi} + 2U_{\xi\eta} + U_{\eta\eta}) + 2(U_{\eta\eta} - U_{\xi\xi}) + (U_{\xi\xi} - 2U_{\xi\eta} + U_{\eta\eta}) + 3(U_{\xi} + U_{\eta}) - 4(-U_{\xi} + U_{\eta}) = 0 

Упрощаем:
 U_{\xi\xi} + 2U_{\xi\eta} + U_{\eta\eta} + 2U_{\eta\eta} - 2U_{\xi\xi} + U_{\xi\xi} - 2U_{\xi\eta} + U_{\eta\eta} + 3U_{\xi} + 3U_{\eta} + 4U_{\xi} - 4U_{\eta} = 0 

Сгруппируем:
 (U_{\xi\xi} - U_{\xi\xi} + U_{\xi\xi}) + (2U_{\xi\eta} - 2U_{\xi\eta}) + (U_{\eta\eta} + 2U_{\eta\eta} + U_{\eta\eta}) + (3U_{\xi} + 4U_{\xi}) + (3U_{\eta} - 4U_{\eta}) = 0 

 U_{\xi\xi} + 4U_{\eta\eta} + 7U_{\xi} - U_{\eta} = 0 

Это уже более удобное уравнение, которое можно решать методом характеристик или методом разделения переменных.

3. Решение уравнения

Решение задачи Гурса требует дополнительных условий на характеристиках. В зависимости от начальных условий можно найти конкретное решение. Если у вас есть условия задачи Гурса (например, значение функции на характеристиках), уточните их, и я помогу довести решение до конца.