Предмет: Математика, Раздел: Дифференциальные уравнения, уравнение гиперболического типа (волновое уравнение).
Данное уравнение представляет собой волновое уравнение. Волновое уравнение имеет вид: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] У нас оно выглядит как: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - 9 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \] Здесь \(
c^2 = 9 \), следовательно, \( c = 3 \). Это коэффициент скорости волны. Область задания решений: \( 0 < x < \pi \) и \( t > 0 \).
Начальные условия:
1. \( u(x, 0) = \sin 3x \) — начальная форма колебаний.
2. \( \frac{\partial u(x, 0)}{\partial t} = 5 \sin x \) — начальная скорость колебаний.
3. \( u(0, t) = u(\pi, t) = 0 \) — граничные условия (фиксированные концы интервала: \( 0 \leq x \leq \pi \)).
Решение задачи методом разделения переменных
1. Шаг 1: Предположение о виде решения. Предположим, что решение имеет вид: \[ u(x, t) = X(x)T(t), \] где \( X(x) \) — функция от \( x \), а \( T(t) \) — функция от \( t \).
2. Шаг 2: Подставим в волновое уравнение: Подставляем \( u(x, t) = X(x) T(t) \) в исходное уравнение: \[ X(x) \frac{d^2 T(t)}{dt^2} - 9 T(t) \frac{d^2 X(x)}{dx^2} = 0. \] Разделим это уравнение на \( X(x)T(t) \): \[ \frac{\frac{d^2 T(t)}{dt^2}}{T(t)} = 9 \frac{\frac{d^2 X(x)}{dx^2}}{X(x)}. \] Так как левая и правая части зависят от разных переменных, приравниваем их к некоторой постоянной \( -\lambda \): \[ \frac{\frac{d^2 T(t)}{dt^2}}{T(t)} = -\lambda, \quad 9 \frac{\frac{d^2 X(x)}{dx^2}}{X(x)} = -\lambda. \]
3. Шаг 3: Решение уравнений для \( X(x) \) и \( T(t) \). Начнем с уравнения для \( X(x) \): \[ \frac{d^2 X(x)}{dx^2} + \frac{\lambda}{9} X(x) = 0. \] Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Обозначим \( \mu^2 = \frac{\lambda}{9} \), чтобы упростить запись: \[ \frac{d^2 X(x)}{dx^2} + \mu^2 X(x) = 0. \] Общее решение такого уравнения имеет вид: \[ X(x) = A \cos(\mu x) + B \sin(\mu x), \] где \( A \) и \( B \) — постоянные, которые нужно определить из граничных условий.
4. Шаг 4: Применение граничных условий к \( X(x) \). Граничные условия: \( u(0, t) = u(\pi, t) = 0 \). Это приводит к следующим условиям на \( X(x) \): \[ X(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A = 0, \] следовательно, \( A = 0 \). Тогда: \[ X(x) = B \sin(\mu x). \] Применим граничное условие \( u(\pi, t) = 0 \): \[ X(\pi) = B \sin(\mu \pi) = 0. \] Так как \( B \neq 0 \), то \( \mu \pi = n \pi \), где \( n = 1, 2, 3, \dots \), то есть: \[ \mu = n. \] Отсюда \( \lambda = 9 \mu^2 = 9n^2 \). Таким образом, получаем \( X(x) \) в виде: \[ X_n(x) = B_n \sin(n x). \]
5. Шаг 5: Решение для \( T(t) \). Теперь решим уравнение для \( T(t) \): \[ \frac{d^2 T(t)}{dt^2} + 9n^2 T(t) = 0. \] Это обычное гармоническое уравнение. Его общее решение: \[ T_n(t) = C_n \cos(3n t) + D_n \sin(3n t). \]
6. Шаг 6: Общее решение. Общее решение задачи можно записать как сумму собственных решений: \[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( C_n \cos(3n t) + D_n \sin(3n t) \right) \sin(n x). \]
7. Шаг 7: Определение коэффициентов \( C_n \) и \( D_n \). Теперь воспользуемся начальными условиями. - Начальное условие \( u(x, 0) = \sin(3x) \): \[ u(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin(n x). \] Отсюда \( C_n = 0 \) для всех \( n \), кроме \( n = 3 \), и \( C_3 = 1 \). Таким образом: \[ u(x, 0) = \sin(3x), \] что совпадает с условием. - Начальное условие на скорость \( \frac{\partial u(x, 0)}{\partial t} = 5 \sin(x) \): \[ \frac{\partial u(x, t)}{\partial t} \Big|_{t=0} = \sum_{n=1}^{\infty} 3n D_n \sin(n x). \] Сравнивая это с \( 5 \sin(x) \), получаем, что \( D_1 = \frac{5}{3} \) и \( D_n = 0 \) для всех \( n \neq 1 \).
8. Шаг 8: Окончательное решение. Таким образом, общее решение задачи: \[ u(x, t) = \cos(9t) \sin(3x) + \frac{5}{3} \sin(3t) \sin(x). \]
Ответ:
\[ u(x, t) = \cos(9t) \sin(3x) + \frac{5/3} \sin(3t) \sin(x). \]