Решить в полных дифференциалах

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Мы имеем уравнение:
(y' + 2)x \sin(2x + y) = \cos(2x + y)

Это уравнение можно решить в полных дифференциалах, если оно является полным дифференциальным уравнением. Для этого перепишем его в виде:

y' + 2 = \frac{\cos(2x + y)}{x \sin(2x + y)}

Обозначим y' = \frac{dy}{dx}, тогда уравнение принимает вид:

\frac{dy}{dx} + 2 = \frac{\cos(2x + y)}{x \sin(2x + y)}

Приведем уравнение к форме, удобной для проверки на полное дифференцирование. Умножим обе стороны на x \sin(2x + y):

x \sin(2x + y) \frac{dy}{dx} + 2x \sin(2x + y) = \cos(2x + y)

Теперь представим это уравнение в виде:

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,

где:
M(x, y) = -2x \sin(2x + y),
N(x, y) = x \sin(2x + y).

Проверим условие полного дифференциала:

Для того чтобы уравнение было полным, должно выполняться условие:

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Вычислим частные производные:

1. \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \big(-2x \sin(2x + y)\big) = -2x \cos(2x + y) \cdot \frac{\partial (2x + y)}{\partial y} = -2x \cos(2x + y).

2. \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \big(x \sin(2x + y)\big) = \sin(2x + y) + x \cos(2x + y) \cdot \frac{\partial (2x + y)}{\partial x} = \sin(2x + y) + 2x \cos(2x + y).

Как видно, \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}, следовательно, уравнение не является полным.

Решение:

Для решения этого уравнения, вероятно, потребуется другой метод, например, использование подходящих подстановок. Если вы хотите продолжить решение с помощью подстановок, уточните это.