Решить уравнение:y'=-2xy'

Это задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения", который является разделом "Математики".

Мы рассмотрим решение первого порядка дифференциального уравнения. Дано уравнение: \[ y' = -2xy' \] Сначала перепишем уравнение, выделив y' на одной стороне: \[ y' + 2xy' = 0 \] Вынесем y' за скобку: \[ y'(1 + 2x) = 0 \] Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( y' = 0 \)
2. \( 1 + 2x = 0 \)

Рассмотрим первый случай: \[ y' = 0 \] \[ \frac{dy}{dx} = 0 \] Проинтегрируем обе стороны уравнения: \[ \int 0 \, dx = \int dy \] \[ y = C \] где \( C \) — константа интегрирования.

Теперь рассмотрим второй случай: \[ 1 + 2x = 0 \] \[ 2x = -1 \] \[ x = -\frac{1}{2} \] Этот случай зафиксирует значение \( x \), но не даст общий вид решения для \( y \).

Таким образом, основным решением этого уравнения будет \[ y = C \] где \( C \) — произвольная константа.