Решить уравнение с разделяющимися переменными у’=е^х/е^у

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, уравнения с разделяющимися переменными

Дано дифференциальное уравнение:

y' = \frac{e^x}{e^y}

Это уравнение можно переписать в виде:

\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y}

Наша цель — решить это уравнение методом разделения переменных, то есть переписать его так, чтобы все переменные y были с одной стороны, а все x — с другой.

Шаг 1: Разделим переменные

Умножим обе части на e^y и на dx:

e^y \, dy = e^x \, dx

Шаг 2: Проинтегрируем обе части

Интегрируем обе части:

\int e^y \, dy = \int e^x \, dx

Результаты интегралов:

e^y = e^x + C, где C — произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 3: Выразим y

Применим натуральный логарифм к обеим частям:

y = \ln(e^x + C)

Ответ:

Общее решение уравнения:

y(x) = \ln(e^x + C)

где C — произвольная постоянная.