Решить уравнение первого порядка

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано уравнение:

(1 + e^{x/y})dx + e^{x/y}(1 - x/y)dy = 0

Это уравнение первого порядка, и мы попробуем привести его к виду, удобному для решения.

Шаг 1: Проверка на точность уравнения

Общее дифференциальное уравнение вида
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
является точным, если выполняется условие:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},
где M(x, y) — коэффициент при dx, а N(x, y) — коэффициент при dy.

В данном уравнении: M(x, y) = 1 + e^{x/y},
N(x, y) = e^{x/y}(1 - x/y).

Найдём частные производные.

1. Производная \frac{\partial M}{\partial y}:
   \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(1 + e^{x/y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(e^{x/y}\right) = e^{x/y} \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{y}\right) = e^{x/y} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{y^2}e^{x/y}.

2. Производная \frac{\partial N}{\partial x}:
   \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(e^{x/y}(1 - x/y)\right).
   Используем правило произведения:
   \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(e^{x/y}\right) \cdot (1 - x/y) + e^{x/y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(1 - x/y\right).
   Первая часть:
   \frac{\partial}{\partial x}\left(e^{x/y}\right) = e^{x/y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{y}\right) = e^{x/y} \cdot \frac{1}{y}.
   Вторая часть:
   \frac{\partial}{\partial x}\left(1 - x/y\right) = 0 - \frac{1}{y} = -\frac{1}{y}.
   Подставляем:
   \frac{\partial N}{\partial x} = e^{x/y} \cdot \frac{1}{y} \cdot (1 - x/y) + e^{x/y} \cdot \left(-\frac{1}{y}\right).
   Упростим:
   \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{e^{x/y}}{y} \cdot (1 - x/y) - \frac{e^{x/y}}{y} = \frac{e^{x/y}}{y} - \frac{x}{y^2}e^{x/y} - \frac{e^{x/y}}{y} = -\frac{x}{y^2}e^{x/y}.

Итак,
\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}e^{x/y},
\frac{\partial N}{\partial x} = -\frac{x}{y^2}e^{x/y}.

Так как \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}, уравнение является точным.

Шаг 2: Решение точного уравнения

Для точного уравнения существует потенциальная функция \Phi(x, y), такая что:
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x, y),
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x, y).

Найдём \Phi(x, y).

1. Интегрируем M(x, y) = 1 + e^{x/y} по x:
   \Phi(x, y) = \int M(x, y) dx = \int (1 + e^{x/y}) dx = \int 1 dx + \int e^{x/y} dx.
   Первая часть:
   \int 1 dx = x.
   Вторая часть:
   Для интеграла \int e^{x/y} dx сделаем замену:
   u = \frac{x}{y} \Rightarrow x = uy, \, dx = y \, du.
   Тогда:
   \int e^{x/y} dx = \int e^u y \, du = y \int e^u du = y e^u + C = y e^{x/y} + C.

Итак,
\Phi(x, y) = x + y e^{x/y} + h(y),
где h(y) — произвольная функция, зависящая только от y.

2. Найдём h(y) из условия \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x, y).
   Вычислим:
   \frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(x + y e^{x/y} + h(y)\right).
   Первая часть:
   \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0.
   Вторая часть:
   \frac{\partial}{\partial y}\left(y e^{x/y}\right) = e^{x/y} + y \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(e^{x/y}\right).
   Мы уже находили \frac{\partial}{\partial y}\left(e^{x/y}\right) = -\frac{x}{y^2}e^{x/y}.
   Тогда:
   \frac{\partial}{\partial y}\left(y e^{x/y}\right) = e^{x/y} - \frac{x}{y}e^{x/y}.
   Третья часть:
   \frac{\partial}{\partial y}(h(y)) = h'(y).

Итак,
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = e^{x/y} - \frac{x}{y}e^{x/y} + h'(y).

Приравниваем к N(x, y) = e^{x/y}(1 - x/y):
e^{x/y} - \frac{x}{y}e^{x/y} + h'(y) = e^{x/y} - \frac{x}{y}e^{x/y}.

Сокращаем:
h'(y) = 0.

Следовательно,
h(y) = C, где C — произвольная константа.

Итак,
\Phi(x, y) = x + y e^{x/y} + C.

Шаг 3: Общий ответ

Решение уравнения:
\Phi(x, y) = x + y e^{x/y} = C,
где C — произвольная константа.