Решить уравнение через y=uv

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка)

Задание: Решить уравнение методом подстановки y = u \cdot v

Дано уравнение:

y' + \sin x \cdot y = e^{\cos x} \cdot \sqrt{x}

Шаг 1: Подстановка y = u \cdot v

Найдем производную y' по правилу произведения:

y' = u'v + uv'

Подставим в уравнение:

u'v + uv' + \sin x \cdot uv = e^{\cos x} \cdot \sqrt{x}

Сгруппируем:

u'v + u(v' + \sin x \cdot v) = e^{\cos x} \cdot \sqrt{x}

Шаг 2: Упростим уравнение

Чтобы избавиться от члена с u, выберем v так, чтобы:

v' + \sin x \cdot v = 0

Это линейное однородное дифференциальное уравнение. Решим его:

\frac{dv}{dx} = -\sin x \cdot v

Разделим переменные:

\frac{dv}{v} = -\sin x \, dx

Проинтегрируем обе части:

\int \frac{dv}{v} = \int -\sin x \, dx

\ln |v| = \cos x + C

v = C_1 e^{\cos x}

(где C_1 = e^C — произвольная постоянная)

Шаг 3: Подставим v = C_1 e^{\cos x} в исходное уравнение

Вернёмся к уравнению:

u'v = e^{\cos x} \cdot \sqrt{x}

Подставим v = C_1 e^{\cos x}:

u' \cdot C_1 e^{\cos x} = e^{\cos x} \cdot \sqrt{x}

Сократим на e^{\cos x}:

u' \cdot C_1 = \sqrt{x}

u' = \frac{\sqrt{x}}{C_1}

Проинтегрируем:

u = \frac{1}{C_1} \int \sqrt{x} \, dx = \frac{1}{C_1} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C_2

Шаг 4: Найдём y = u \cdot v

y = u \cdot v = \left( \frac{2}{3C_1} x^{3/2} + C_2 \right) \cdot C_1 e^{\cos x}

Раскроем скобки:

y = \left( \frac{2}{3} x^{3/2} + C_1 C_2 \right) e^{\cos x}

Обозначим C = C_1 C_2, получим:

Ответ:

y = \left( \frac{2}{3} x^{3/2} + C \right) e^{\cos x}

Где C — произвольная постоянная.