Решить систему уравнений методом обратной матрицы.{2х + у − z = 1,х + у + Z = 8,3х − у + z = 4.

Предмет: Линейная алгебра.

Раздел: Решение систем линейных уравнений с помощью матриц (метод обратной матрицы).

Задание: Нужно решить систему линейных уравнений с тремя переменными, используя метод обратной матрицы.

Дана система уравнений:

\[ \begin{aligned} 1. \ 2x + y - z &= 1 \\ 2. \ x + y + z &= 8 \\ 3. \ 3x - y + z &= 4 \end{aligned} \]

Шаг 1: Представление системы в матричной форме

Запишем систему в виде матричного уравнения:

\[ AX = B \]

где:

• \( A \) — это матрица коэффициентов при переменных \( x, y, z \);
• \( X \) — это столбец-матрица неизвестных \( x, y, z \);
• \( B \) — это столбец-матрица свободных членов.

Матрица \( A \) (коэффициенты при переменных):

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Матрица переменных \( X \):

\[ X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \]

Матрица свободных членов \( B \):

\[ B = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Найдем обратную матрицу \( A^{-1} \)

Если существует обратная матрица \( A^{-1} \), то решение системы можно найти как:

\[ X = A^{-1}B \]

Сначала нужно найти обратную матрицу \( A^{-1} \). Для этого воспользуемся формулой:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) \]

Найдем определитель матрицы \( A \):

\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} \]

Для вычисления определителя используем правило треугольников:

\[ \det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \]

Теперь посчитаем каждый минор:

1. \( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (1 \cdot -1) = 1 + 1 = 2 \)
2. \( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (1 \cdot 3) = 1 - 3 = -2 \)
3. \( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot -1) - (1 \cdot 3) = -1 - 3 = -4 \)

Подставляем в формулу для определителя:

\[ \det(A) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-4) = 4 + 2 + 4 = 10 \]

Итак, \( \det(A) = 10 \), и матрица \( A \) невырождена, следовательно, ее обратная существует.

Шаг 3: Найдем матрицу алгебраических дополнений (союзную матрицу, adj(A))

Вычисляем обратную матрицу:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj(A) }\]