Решить систему ДУ

Это задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения", раздел "Системы дифференциальных уравнений". Давайте решим эту систему.

У нас есть система обыкновенных дифференциальных уравнений:

1. x' = 2x + y
2. y' = 3x + 4y

Для решения линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, мы можем использовать метод собственных значений и собственных векторов.

Сначала представим систему в матричном виде:

d/dt [x] = [2 1][x]

[y] [3 4][y]

Матрица коэффициентов A будет:

A = [2 1]

[3 4]

Найдем собственные значения (λ) этой матрицы, решив характеристическое уравнение det(A - λI) = 0, где I — единичная матрица размерности 2x2.

A - λI = [2-λ 1]

[3 4-λ]

Найдем определитель этой матрицы:

det(A - λI) = (2-λ)(4-λ) - (1)(3) = (2-λ)(4-λ) - 3

Раскроем скобки и найдем характеристическое уравнение:

(2-λ)(4-λ) = 8 - 4λ - 2λ + λ^2 = λ^2 - 6λ + 8

Теперь у нас есть характеристическое уравнение:

λ^2 - 6λ + 8 - 3 = 0

λ^2 - 6λ + 5 = 0

Это квадратное уравнение, решим его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 36 - 20 = 16

Корни уравнения:

λ1,2 = (6 ± √16) / 2 = (6 ± 4) / 2

λ1 = 5

λ2 = 1

Теперь нам нужно найти собственные векторы для каждого собственного значения.

1. Для λ1 = 5:

Рассмотрим уравнение (A - λ1I)v = 0:

[A - 5I] = [2-5 1] = [-3 1]

[3 4-5] [3 -1]

Преобразуем уравнение:

[-3 1][v1] = [0]

[3 -1][v2] = [0]

Решаем систему:

-3v1 + v2 = 0

3v1 - v2 = 0

v2 = 3v1

Собственный вектор v1 = [1]

[3]

2. Для λ2 = 1:

Рассмотрим уравнение (A - λ2I)v = 0:

[A - 1I] = [2-1 1] = [1 1]

[3 4-1] [3 3]

Преобразуем уравнение:

[1 1][v1] = [0]

[3 3][v2] = [0]

Решаем систему:

v1 + v2 = 0

3v1 + 3v2 = 0

v2 = -v1

Собственный вектор v2 = [1]

[-1]

Общее решение однородной системы:

[x] = c1*[1]*e^(5t) + c2*[1]*e^(t)

[y] [3] [-1]

x(t) = c1*e^(5t) + c2*e^(t)

y(t) = 3c1*e^(5t) - c2*e^(t)

Где c1 и c2 — произвольные константы, которые можно определить из начальных условий, если они даны.