Решить систему дифференциальных уравнений

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, система линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Дана система дифференциальных уравнений:

 \begin{cases} \frac{dx}{dt} = x + 2y, \ \frac{dy}{dt} = 3x + 4y. \end{cases} 

Решение:

1. Запишем систему в матричной форме:

 \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}. 

Обозначим вектор \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} и матрицу коэффициентов A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}.

Тогда система записывается как:

 \frac{d\mathbf{X}}{dt} = A \mathbf{X}. 

2. Найдем собственные значения матрицы A, решая характеристическое уравнение:

 \det(A - \lambda I) = 0, 

где I — единичная матрица.

Вычислим:

 \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = 0. 

Раскроем скобки:

 (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = (4 - \lambda - 4\lambda + \lambda^2) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0. 

3. Решим квадратное уравнение:

 \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0. 

Дискриминант:

 D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 25 + 8 = 33. 

Корни:

 \lambda_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}. 

4. Найдем собственные векторы для каждого собственного значения.

Для \lambda_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2} решаем систему:

 (A - \lambda_1 I) \mathbf{v} = 0, 

то есть

 \begin{pmatrix} 1 - \lambda_1 & 2 \ 3 & 4 - \lambda_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}. 

Из первого уравнения:

 (1 - \lambda_1) v_1 + 2 v_2 = 0 \implies v_2 = \frac{\lambda_1 - 1}{2} v_1. 

Аналогично для второго уравнения, но оно будет линейно зависимым.

Возьмём v_1 = 1, тогда

 v_2 = \frac{\lambda_1 - 1}{2}. 

5. Аналогично для \lambda_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}:

 v_2 = \frac{\lambda_2 - 1}{2} v_1. 

6. Общий вид решения системы:

 \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix} = C_1 e^{\lambda_1 t} \begin{pmatrix} 1 \ \frac{\lambda_1 - 1}{2} \end{pmatrix} + C_2 e^{\lambda_2 t} \begin{pmatrix} 1 \ \frac{\lambda_2 - 1}{2} \end{pmatrix}, 

где C_1, C_2 — произвольные постоянные.

Итог:

 \boxed{ \begin{cases} x(t) = C_1 e^{\frac{5 + \sqrt{33}}{2} t} + C_2 e^{\frac{5 - \sqrt{33}}{2} t}, \ y(t) = C_1 \frac{\frac{5 + \sqrt{33}}{2} - 1}{2} e^{\frac{5 + \sqrt{33}}{2} t} + C_2 \frac{\frac{5 - \sqrt{33}}{2} - 1}{2} e^{\frac{5 - \sqrt{33}}{2} t}. \end{cases} }