Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решить систему дифференциальных уравнений методом вариации постоянных: x' = y + tg2 t - 1, y' = -x + tg t.
Мы решаем систему линейных дифференциальных уравнений:
\[ x' = y + \tan^2 t - 1, \] \[ y' = -x + \tan t. \]Для применения метода вариации постоянных, сначала нужно найти фундаментальную матрицу для однородной системы, убрав правые части:
\[ x' = y, \] \[ y' = -x. \]Мы переписываем систему в матричном виде:
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \]Обозначим матрицу коэффициентов как \( \mathbf{A} \):
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \]Найдём собственные значения \( \lambda \) из уравнения \( \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0 \):
\[ \mathbf{A} - \lambda \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 0 - \lambda & 1 \\ -1 & 0 - \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ -1 & -\lambda \end{pmatrix}. \] \[ \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \lambda^2 + 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 = -1 \Rightarrow \lambda = \pm i. \]Теперь найдём собственные векторы. Для \( \lambda = i \):
\[ \begin{pmatrix} -i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \] \[ -i v_1 + v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = i v_1 \Rightarrow v_1 \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}. \]Для \( \lambda = -i \):
\[ \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \] \[ i w_1 + w_2 = 0 \Rightarrow w_2 = -i w_1 \Rightarrow w_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}. \]Таким образом, фундаментальная матрица \( \mathbf{\Phi}(t) \) может быть записана как:
\[ \mathbf{\Phi}(t) = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}. \]Ищем частное решение системы в виде:
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \mathbf{\Phi}(t) \begin{pmatrix} u_1(t) \\ u_2(t) \end{pmatrix}. \]Дифференцируем:
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \mathbf{\Phi}'(t) \begin{pmatrix} u_1(t) \\ u_2(t) \end{pmatrix} + \mathbf{\Phi}(t) \begin{pmatrix} u_1'(t) \\ u_2'(t) \end{pmatrix}. \]Подставляем найденные значения \( \mathbf{\Phi}(t) \):
\[ \mathbf{\Phi}'(t) = \begin{pmatrix} -\sin t & \cos t \\ -\cos t & -\sin t \end{pmatrix}. \]Из соотношений:
\[ \mathbf{\Phi}(t) \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}, \]примем \( \mathbf{u}'(t) = ( \mathbf{\Phi}(t) )^{-1} \mathbf{g}(t) \) как:
\[ (\mathbf{\Phi}(t))^{-1} = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}. \]Таким образом, наша задача сводится к решению:
\[ \begin{pmatrix} u_1'(t) \\ u_2'(t) \end{pmatrix} = (\mathbf{\Phi}(t))^{-1} \begin{pmatrix} \tan^2 t - 1 \\ \tan t \end{pmatrix}. \]Подставляем и решаем:
\[ \begin{pmatrix} u_1'(t) \\ u_2'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\tan t \\ \tan t & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tan^2 t - 1 \\ \tan t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (\tan^2 t - 1) - \tan t \cdot \tan t \\ \tan t \cdot (\tan^2 t - 1) + 1 \cdot \tan t \end{pmatrix}. \]После простых вычислений, получаем:
\[ u_1'(t) = -1, u_2'(t) = \tan^3 t. \]Решение этих дифференциальных уравнений даст:
\[ u_1(t) = -t + C_1, u_2(t) = \frac{1}{4}\tan^2 t + C_2. \]Подставляем в первоначальную форму:
\[ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -t + C_1 \\ \frac{1}{4}\tan^2 t + C_2 \end{pmatrix}, \]что даёт нам общее решение системы.