Решить с помощью подстановки

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение:

y' = 4 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2

Это дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки v = \frac{y}{x}, то есть, положим y = vx.

Тогда производная y:

\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}

Подставим это в уравнение:

v + x\frac{dv}{dx} = 4 + v + v^2

Сокращаем v:

x\frac{dv}{dx} = 4 + v^2

Это уравнение можно записать в разделяющейся форме:

\frac{dv}{4 + v^2} = \frac{dx}{x}

Теперь интегрируем обе части. Левая часть интегрируется с помощью подстановки v = 2\tan{\theta}, а правая даёт \ln |x| + C. После интегрирования и обратной замены выражения для v можно получить общее решение.

Если требуется детальное решение интегралов, уточните!