Решить полностью дифференциальные уравнения

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Задача Коши для линейных дифференциальных уравнений

Дано дифференциальное уравнение с начальными условиями:

x'' + 2x' = \sin{\frac{t}{2}}, \quad x(0) = -2, \quad x'(0) = 4.

Шаг 1: Найдём общее решение однородного уравнения

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

x'' + 2x' = 0.

Характеристическое уравнение:

\lambda^2 + 2\lambda = 0.

Решаем:

\lambda(\lambda + 2) = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = -2.

Общее решение однородного уравнения:

x_h(t) = C_1 + C_2 e^{-2t}.

Шаг 2: Найдём частное решение

Правая часть уравнения — \sin{\frac{t}{2}}. Используем метод вариации параметров или метод неопределённых коэффициентов.

Предположим частное решение в виде:

x_p = A \cos{\frac{t}{2}} + B \sin{\frac{t}{2}}.

Находим производные:

x_p' = -\frac{A}{2} \sin{\frac{t}{2}} + \frac{B}{2} \cos{\frac{t}{2}},

x_p'' = -\frac{A}{4} \cos{\frac{t}{2}} - \frac{B}{4} \sin{\frac{t}{2}}.

Подставляем в уравнение:

\left(-\frac{A}{4} \cos{\frac{t}{2}} - \frac{B}{4} \sin{\frac{t}{2}}\right) + 2\left(-\frac{A}{2} \sin{\frac{t}{2}} + \frac{B}{2} \cos{\frac{t}{2}}\right) = \sin{\frac{t}{2}}.

Группируем коэффициенты при \cos{\frac{t}{2}} и \sin{\frac{t}{2}}:

\left(-\frac{A}{4} + B\right) \cos{\frac{t}{2}} + \left(-\frac{B}{4} - A\right) \sin{\frac{t}{2}} = \sin{\frac{t}{2}}.

Приравниваем коэффициенты:

1. -\frac{A}{4} + B = 0 \Rightarrow B = \frac{A}{4}.
2. -\frac{B}{4} - A = 1.

Подставляем B = \frac{A}{4} во второе уравнение:

-\frac{\frac{A}{4}}{4} - A = 1.

-\frac{A}{16} - A = 1.

-\frac{17A}{16} = 1.

A = -\frac{16}{17}, \quad B = -\frac{4}{17}.

Частное решение:

x_p = -\frac{16}{17} \cos{\frac{t}{2}} - \frac{4}{17} \sin{\frac{t}{2}}.

Шаг 3: Общее решение

Общее решение:

x(t) = C_1 + C_2 e^{-2t} - \frac{16}{17} \cos{\frac{t}{2}} - \frac{4}{17} \sin{\frac{t}{2}}.

Шаг 4: Найдём константы C_1 и C_2

Начальные условия:

1. x(0) = -2.
2. x'(0) = 4.

Находим x(0):

C_1 + C_2 - \frac{16}{17} = -2.

C_1 + C_2 = -2 + \frac{16}{17} = -\frac{34}{17} + \frac{16}{17} = -\frac{18}{17}.

Находим x'(t):

x'(t) = -2C_2 + \frac{16}{34} \sin{\frac{t}{2}} - \frac{4}{34} \cos{\frac{t}{2}}.

Подставляем t = 0:

-2C_2 - \frac{4}{17} = 4.

-2C_2 = 4 + \frac{4}{17} = \frac{68}{17} + \frac{4}{17} = \frac{72}{17}.

C_2 = -\frac{36}{17}.

Подставляем в первое уравнение:

C_1 - \frac{36}{17} = -\frac{18}{17}.

C_1 = -\frac{18}{17} + \frac{36}{17} = \frac{18}{17}.

Шаг 5: Записываем окончательный ответ

x(t) = \frac{18}{17} - \frac{36}{17} e^{-2t} - \frac{16}{17} \cos{\frac{t}{2}} - \frac{4}{17} \sin{\frac{t}{2}}.