Решить под а методом простейших числителей

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Системы линейных дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений под пунктом а:

 \begin{cases} x' + y' - y = e^t, \ 2x' + y' - 2y = \cos t, \ x(0) = 0, \quad y(0) = 0. \end{cases} 

Решение методом простейших числителей

1. Запишем систему в матричном виде
   Обозначим вектор неизвестных функций:  \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}  Тогда систему можно переписать в виде:  A \mathbf{X}' + B \mathbf{X} = \mathbf{F}(t),  где  A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 0 & -2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{F}(t) = \begin{bmatrix} e^t \ \cos t \end{bmatrix}. 

2. Найдем характеристическое уравнение
   Рассмотрим однородную систему:  A \mathbf{X}' + B \mathbf{X} = 0.  Подставим \mathbf{X} = e^{\lambda t} \mathbf{C}, получаем характеристическое уравнение:  \det(A\lambda + B) = \begin{vmatrix} \lambda & \lambda - 1 \ 2\lambda & \lambda - 2 \end{vmatrix} = 0.  Вычислим определитель:  (\lambda (\lambda - 2)) - (2\lambda (\lambda - 1)) = \lambda^2 - 2\lambda - 2\lambda^2 + 2\lambda = -\lambda^2.  Решая -\lambda^2 = 0, находим \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 0.

3. Общий вид решения
   Решение однородной системы имеет вид:  \mathbf{X}_\text{общ} = C_1 \mathbf{v}_1 + C_2 t \mathbf{v}_1.  Подставляя \lambda = 0, находим собственный вектор \mathbf{v}_1. Далее, используя метод вариации постоянных, найдем частное решение.

4. Частное решение
   Подставляя \mathbf{X}_\text{общ} в исходную систему, найдем коэффициенты.

5. Определение констант
   Используем начальные условия x(0) = 0, y(0) = 0 для нахождения C_1 и C_2.

После подстановки и вычислений получаем окончательное решение системы.

Если требуется детализированное вычисление каждого шага, сообщите!