Решить ОДУ, с начальным условием, с шагом методом Рунге-Кутты 4-го порядка

Предмет: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Раздел: Метод Рунге-Кутты для решения ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнений).

Задача: Необходимо решить обыкновенное дифференциальное уравнение $\text{(}{y}^{\prime }=\frac{2}{x}y+x\text{)}$, $\text{(}x\in [1,1.5]\text{)}$, с начальным условием $\text{(}y(1)=0\text{)}$, с шагом $\text{(}h=0.05\text{)}$ методом Рунге-Кутты 4-го порядка, а затем сравнить это приближённое решение с точным решением $\text{(}y=x^2\ln (x)\text{)}$ при $\text{(}x=1.5\text{)}$.

Шаг 1. Формулы метода Рунге-Кутты 4-го порядка.

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка для решения ОДУ $\text{(}{y}^{\prime }=f(x,y)\text{)}$ с шагом $\text{(}h\text{)}$ задаётся в виде:

$\text{[}{y}_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\text{]}$

где

$\text{[}{k}_1=f(x_n,y_n),\text{]}$

$\text{[}{k}_2=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_1),\text{]}$

$\text{[}{k}_3=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_2),\text{]}$

$\text{[}{k}_4=f(x_n+h,y_n+h{k}_3).\text{]}$

Здесь $\text{(}f(x,y)=\frac{2}{x}y+x\text{)}$.

Шаг 2. Применение метода.

Нам нужно вычислить значение функции при $\text{(}x=1.5\text{)}$, начиная с $\text{(}x=1\text{)}$ и используя шаг $\text{(}h=0.05\text{)}$.

• Начальное условие: $\text{(}{x}_0=1\text{)}$, $\text{(}{y}_0=0\text{)}$.
• Шаг: $\text{(}h=0.05\text{)}$.

Теперь вычислим функции $\text{(}f(x,y)\text{)}$ и применим метод на каждом шаге.

1-й шаг (от $\text{(}{x}_0=1\text{)}$ до $\text{(}{x}_1=1.05\text{)}$)

$\text{(}f(x,y)=\frac{2}{x}y+x\text{)}$.

1. $\text{(}{k}_1=f(1,0)=\frac{2}{1}\cdot 0+1=1\text{)}$
2. $\text{(}{k}_2=f(1+\frac{0.05}{2},0+\frac{0.05}{2}\cdot 1)=f(1.025,0.025)=\frac{2}{1.025}\cdot 0.025+1.025\approx 1.050\text{)}$
3. $\text{(}{k}_3=f(1.025,0+\frac{0.05}{2}\cdot 1.050)=f(1.025,0.02625)=\frac{2}{1.025}\cdot 0.02625+1.025\approx 1.051\text{)}$
4. $\text{(}{k}_4=f(1.05,0+0.05\cdot 1.051)=f(1.05,0.05255)=\frac{2}{1.05}\cdot 0.05255+1.05\approx 1.103\text{)}$

Теперь находим новое значение $\text{(}{y}_1\text{)}$:

$\text{[}{y}_1=0+\frac{0.05}{6}(1+2\cdot 1.050+2\cdot 1.051+1.103)\approx 0.05252.\text{]}$

2-й шаг (от $\text{(}{x}_1=1.05\text{)}$ до $\text{(}{x}_2=1.1\text{)}$)

1. $\text{(}{k}_1=f(1.05,0.05252)=\frac{2}{1.05}\cdot 0.05252+1.05\approx 1.103\text{)}$
2. $\text{(}{k}_2=f(1.05+\frac{0.05}{2},0.05252+\frac{0.05}{2}\cdot 1.103)=f(1.075,0.0801)=\frac{2}{1.075}\cdot 0.0801+1.075\approx 1.157\text{)}$
3. $\text{(}{k}_3=f(1.075,0.05252+\frac{0.05}{2}\cdot 1.157)=f(1.075,0.081)=\frac{2}{1.075}\cdot 0.081+1.075\approx 1.157\text{)}$
4. $\text{(}{k}_4=f(1.1,0.05252+0.05\cdot 1.157)=f(1.1,0.11045)=\frac{2}{1.1}\cdot 0.11045+1.1\approx 1.214\text{)}$

Теперь находим новое значение $\text{(}{y}_2\text{)}$:

$\text{[}{y}_2=0.05252+\frac{0.05}{6}(1.103+2\cdot 1.157+2\cdot 1.157+1.214)\approx 0.1103.\text{]}$

Продолжаем аналогично до $\text{(}x=1.5\text{)}$...

Шаг 3. Вычисление точного решения.

Точное решение дано как $\text{(}y=x^2\ln (x)\text{)}$. При $\text{(}x=1.5\text{)}$:

$\text{[}{y}_{\text{точное}}={1.5}^2\ln (1.5)\approx 2.25\ln (1.5)\approx 2.25\cdot 0.4055\approx 0.9124.\text{]}$

Шаг 4. Погрешность.

Погрешность можно найти как разницу между приближённым решением, полученным методом Рунге-Кутты, и точным решением. Теперь определим результат и погрешность в виде $\text{(}x\cdot {10}^{-7}\text{)}$.