Решить ОДУ, с начальным условием, с шагом методом Рунге-Кутты 4-го порядка

Предмет: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Раздел: Метод Рунге-Кутты для решения ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнений).

Задача: Необходимо решить обыкновенное дифференциальное уравнение \(y=2xy+x\), \(x[1,1.5]\), с начальным условием \(y(1)=0\), с шагом \(h=0.05\) методом Рунге-Кутты 4-го порядка, а затем сравнить это приближённое решение с точным решением \(y=x2ln(x)\) при \(x=1.5\).

Шаг 1. Формулы метода Рунге-Кутты 4-го порядка.

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка для решения ОДУ \(y=f(x,y)\) с шагом \(h\) задаётся в виде:

\[yn+1=yn+h6(k1+2k2+2k3+k4)\]

где

\[k1=f(xn,yn),\]

\[k2=f(xn+h2,yn+h2k1),\]

\[k3=f(xn+h2,yn+h2k2),\]

\[k4=f(xn+h,yn+hk3).\]

Здесь \(f(x,y)=2xy+x\).

Шаг 2. Применение метода.

Нам нужно вычислить значение функции при \(x=1.5\), начиная с \(x=1\) и используя шаг \(h=0.05\).

  • Начальное условие: \(x0=1\), \(y0=0\).
  • Шаг: \(h=0.05\).

Теперь вычислим функции \(f(x,y)\) и применим метод на каждом шаге.

1-й шаг (от \(x0=1\) до \(x1=1.05\))

\(f(x,y)=2xy+x\).

  1. \(k1=f(1,0)=210+1=1\)
  2. \(k2=f(1+0.052,0+0.0521)=f(1.025,0.025)=21.0250.025+1.0251.050\)
  3. \(k3=f(1.025,0+0.0521.050)=f(1.025,0.02625)=21.0250.02625+1.0251.051\)
  4. \(k4=f(1.05,0+0.051.051)=f(1.05,0.05255)=21.050.05255+1.051.103\)

Теперь находим новое значение \(y1\):

\[y1=0+0.056(1+21.050+21.051+1.103)0.05252.\]

2-й шаг (от \(x1=1.05\) до \(x2=1.1\))
  1. \(k1=f(1.05,0.05252)=21.050.05252+1.051.103\)
  2. \(k2=f(1.05+0.052,0.05252+0.0521.103)=f(1.075,0.0801)=21.0750.0801+1.0751.157\)
  3. \(k3=f(1.075,0.05252+0.0521.157)=f(1.075,0.081)=21.0750.081+1.0751.157\)
  4. \(k4=f(1.1,0.05252+0.051.157)=f(1.1,0.11045)=21.10.11045+1.11.214\)

Теперь находим новое значение \(y2\):

\[y2=0.05252+0.056(1.103+21.157+21.157+1.214)0.1103.\]

Продолжаем аналогично до \(x=1.5\)...

Шаг 3. Вычисление точного решения.

Точное решение дано как \(y=x2ln(x)\). При \(x=1.5\):

\[yточное=1.52ln(1.5)2.25ln(1.5)2.250.40550.9124.\]

Шаг 4. Погрешность.

Погрешность можно найти как разницу между приближённым решением, полученным методом Рунге-Кутты, и точным решением. Теперь определим результат и погрешность в виде \(x107\).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут