Решить ОДУ первого порядка, разделяющееся переменными

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка)

Дано дифференциальное уравнение:

y' = y \cdot \tg x

Это уравнение является ОДУ первого порядка, разделяющееся переменными.

Шаг 1: Перепишем уравнение в виде с разделёнными переменными

\frac{dy}{dx} = y \cdot \tg x

Разделим переменные:

\frac{dy}{y} = \tg x \, dx

Шаг 2: Проинтегрируем обе части

\int \frac{dy}{y} = \int \tg x \, dx

Левую часть:

\int \frac{dy}{y} = \ln |y| + C_1

Правую часть:

\int \tg x \, dx = -\ln |\cos x| + C_2

Шаг 3: Объединяем константы

\ln |y| = -\ln |\cos x| + C, где C = C_2 - C_1

Шаг 4: Преобразуем выражение

\ln |y| = \ln \left( \frac{1}{|\cos x|} \right) + C

\ln |y| = \ln \left( \frac{1}{|\cos x|} \cdot e^C \right)

Обозначим A = e^C > 0 — произвольная положительная константа:

\ln |y| = \ln \left( \frac{A}{|\cos x|} \right)

Шаг 5: Убираем логарифм

|y| = \frac{A}{|\cos x|}

Следовательно, общее решение:

y = \frac{C}{\cos x}, где C \in \mathbb{R} — произвольная постоянная (возможно отрицательная, учтена модулем)

Ответ:

y = \frac{C}{\cos x}, где C — произвольная постоянная.