Решить обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка)

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:

y'' \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{4} y \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 1

Это линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Заметим, что обе части уравнения содержат множитель \cos\left(\frac{x}{2}\right). Разделим обе части уравнения на \cos\left(\frac{x}{2}\right) (при условии, что \cos\left(\frac{x}{2}\right) \ne 0):

\frac{y'' \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{4} y \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}

Сократим:

y'' + \frac{1}{4} y = \frac{1}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}

Теперь у нас есть стандартное линейное неоднородное ОДУ второго порядка:

y'' + \frac{1}{4} y = \frac{1}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}

Шаг 1: Решим однородное уравнение

Сначала решим соответствующее однородное уравнение:

y'' + \frac{1}{4} y = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 + \frac{1}{4} = 0

Решим его:

r = \pm \frac{i}{2}

Это мнимые корни, значит общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = C_1 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + C_2 \sin\left(\frac{x}{2}\right)

Шаг 2: Частное решение

Теперь найдём частное решение y_p(x) неоднородного уравнения:

y'' + \frac{1}{4} y = \frac{1}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}

Правая часть — это функция \frac{1}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)} = \sec\left(\frac{x}{2}\right), которая не является элементарной функцией, решение с помощью метода вариации параметров или преобразования Фурье будет сложным.

Обозначим, что общее решение будет:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

где:

y_h(x) = C_1 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + C_2 \sin\left(\frac{x}{2}\right)

а y_p(x) — частное решение, которое можно искать, например, методом вариации постоянных, но из-за сложности правой части (секанс) в аналитическом виде оно может быть выражено через интеграл.

Ответ:

Общее решение уравнения:

y(x) = C_1 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + C_2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) + y_p(x)

где y_p(x) — частное решение уравнения y'' + \frac{1}{4} y = \sec\left(\frac{x}{2}\right), которое можно выразить через интеграл или искать численно.