Решить обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка)

Нам дано дифференциальное уравнение:

y \sin x - y'(y^2 + 1) = 0

Здесь y = y(x) — функция от переменной x, а y' — производная y по x.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение в виде:

y \sin x = y'(y^2 + 1)

Выразим y':

y' = \frac{y \sin x}{y^2 + 1}

Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, которое можно решить методом разделения переменных.

Шаг 2: Разделим переменные

Перепишем уравнение так, чтобы переменные y и x были по разные стороны:

\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin x}{y^2 + 1}

Разделим переменные:

\frac{y^2 + 1}{y} \, dy = \sin x \, dx

Упростим левую часть:

\left( y + \frac{1}{y} \right) dy = \sin x \, dx

Шаг 3: Интегрируем обе части

Интегрируем левую и правую части:

\int \left( y + \frac{1}{y} \right) dy = \int \sin x \, dx

Посчитаем интегралы:

• \int y \, dy = \frac{y^2}{2}
• \int \frac{1}{y} \, dy = \ln |y|
• \int \sin x \, dx = -\cos x

Итак, получаем:

\frac{y^2}{2} + \ln |y| = -\cos x + C

где C — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ:

Общее решение данного дифференциального уравнения:

\frac{y^2}{2} + \ln |y| = -\cos x + C

Это неявное решение, выражающее зависимость между y и x.