Определение предмета и раздела задания:
Данный пример относится к математике, конкретнее — к дифференциальным уравнениям. Это уравнение первого порядка, отнесённое к разделу обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Мы видим уравнение с первым порядком производной функции \(y(x)\), а также присутствует как сама функция \(y\), так и её производная.
Задание:
Мы имеем уравнение: \[ y' \cdot x + y = -x y^2. \] Нужно, насколько можно понять, решить это дифференциальное уравнение, то есть найти функцию \(y(x)\).
Решение:
- Запишем уравнение в более удобной форме: Перепишем уравнение следующим образом: \[ y' \cdot x = -x y^2 - y. \] Теперь мы можем выделить общий множитель из правой части: \[ y' \cdot x = -y (x y + 1). \]
- Проверим на сепарабельность (возможность разделения переменных): Попробуем разделить переменные \(x\) и \(y\). Для этого мы сначала перенесём все термины, содержащие \(y\), в одну часть уравнения, а все термины, содержащие \(x\), в другую часть.
Уравнение сейчас выглядит: \[ \frac{y'}{y(x y + 1)} = -\frac{1}{x}. \] Теперь у нас получилось уравнение, где переменные могут быть разделены.
- Разделение переменных: Перепишем уравнение в виде: \[ \frac{dy}{y(x y + 1)} = -\frac{dx}{x}. \] Теперь можно приступать к интегрированию обеих частей.
- Интегрирование обеих частей: Интегрирование правой части: \[ \int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C_1, \] где \(C_1\) — это константа интегрирования.
Для левой части проведём подстановку. Пусть \(u = x y + 1\), тогда производная будет: \[ du = x \, dy. \]
Следовательно: \[ \int \frac{dy}{y(x y + 1)} = \int \frac{du}{u} = \ln|u| = \ln|x y + 1|. \]
- Равенство двух интегралов: Теперь приравняем результаты двух интегралов: \[ \ln|x y + 1| = -\ln|x| + C_1. \]
- Избавляемся от логарифмов: Чтобы избавиться от логарифмов, возьмём экспоненту от обеих частей уравнения: \[ x y + 1 = \frac{C_2}{x}, \] где \(C_2 = e^{C_1}\), и это снова некоторая константа.
- Решение уравнения относительно \(y\): Теперь выразим \(y\): \[ x y = \frac{C_2}{x} - 1, \]
\[ y = \frac{C_2 - x^2}{x^2}. \]
Окончательное решение:
Функция \(y(x)\) является решением данного дифференциального уравнения: \[ y(x) = \frac{C_2 - x^2}{x^2}, \] где \(C_2\) — это произвольная постоянная, зависящая от начальных условий.
Вывод: