Решить неоднородное уравнение.

Пример 1:

Решите линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

Решение от преподавателя:

Дано линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение  имеет простые корни , поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

Правая часть неоднородного уравнения

- сумма трех функций: экспоненты с коэффициентом 5 в показателе (5 не является корнем характеристического уравнения), экспоненты с коэффициентом -5 в показателе (-5 является простым корнем характеристического уравнения) и тригонометрической функции с коэффициентом 2 в аргументе (2i не является корнем характеристического уравнения), поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

Подставляя в уравнение, получаем:

Отсюда получаем общее решение исходного уравнения:

Ответ: .

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Дано линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет простые корни , поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть неоднородного уравнения – многочлен степени 2, 0 является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

Подставляя в уравнение, получаем:

Отсюда получаем общее решение исходного уравнения:

Ответ: .