Решить начально-краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, Уравнение теплопроводности (неоднородное)

Рассмотрим задачу №4 из изображения.
Нам нужно решить начально-краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности:

Дано уравнение:

 \frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x,t) 

на области D = \{x : 0 < x < \pi\},\quad t > 0
с начальными и граничными условиями:

 \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{x=0} = \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{x=\pi} = 0 
 u(x,0) = g(x) 

Исходные данные (задача 4):

 f(x,t) = 2 \cos 3x \sin t 
 g(x) = 3 + \cos x - 5 \cos 2x 

Решение

Метод решения — разложение по косинусному ряду Фурье, так как граничные условия — неподвижные края с нулевым потоком (неоднородность по x).

Шаг 1: Представим решение в виде ряда Фурье

Поскольку граничные условия — неоднородные по производной, используем разложение по косинусам (т.к. производная косинуса в 0 и π равна 0):

 u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} T_n(t) \cos(nx) 

Шаг 2: Разложим начальное условие g(x)

Разложим g(x) = 3 + \cos x - 5 \cos 2x по косинусам:

Это уже есть разложение Фурье:

 g(x) = a_0 + a_1 \cos x + a_2 \cos 2x + \dots 
где:

• a_0 = 3
• a_1 = 1
• a_2 = -5

Значит:

 T_n(0) = \begin{cases} 3, & n = 0 \ 1, & n = 1 \ -5, & n = 2 \ 0, & \text{иначе} \end{cases} 

Шаг 3: Разложим правую часть f(x,t)

 f(x,t) = 2 \cos 3x \sin t 

Значит, в разложении Фурье участвует только член с n = 3:

 f(x,t) = F_3(t) \cos 3x, \quad F_3(t) = 2 \sin t 

Шаг 4: Подставим в уравнение и получим ОДУ для коэффициентов

Подставим разложение:

 u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} T_n(t) \cos(nx) 

Тогда:

 \frac{\partial u}{\partial t} = \sum_{n=0}^{\infty} T_n'(t) \cos(nx) 
 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} -n^2 T_n(t) \cos(nx) 

Подставим в уравнение:

 \sum_{n=0}^{\infty} T_n'(t) \cos(nx) = a^2 \sum_{n=0}^{\infty} -n^2 T_n(t) \cos(nx) + \sum_{n=0}^{\infty} F_n(t) \cos(nx) 

Сравнивая коэффициенты при \cos(nx):

 T_n'(t) + a^2 n^2 T_n(t) = F_n(t) 

Шаг 5: Решим ОДУ для каждого n

Для n = 0:

 T_0'(t) = F_0(t) = 0 \Rightarrow T_0(t) = 3 

Для n = 1:

 T_1'(t) + a^2 T_1(t) = 0, \quad T_1(0) = 1 

Решение:

 T_1(t) = e^{-a^2 t} 

Для n = 2:

 T_2'(t) + 4a^2 T_2(t) = 0, \quad T_2(0) = -5 

Решение:

 T_2(t) = -5 e^{-4a^2 t} 

Для n = 3:

 T_3'(t) + 9a^2 T_3(t) = 2 \sin t, \quad T_3(0) = 0 

Это линейное ОДУ первого порядка с правой частью.

Решим методом вариации постоянной:

Общее решение:

 T_3(t) = C e^{-9a^2 t} + e^{-9a^2 t} \int_0^t 2 \sin s \cdot e^{9a^2 s} ds 

Вычислим интеграл:

 \int_0^t 2 \sin s \cdot e^{9a^2 s} ds 

Интегрируем по частям или используем стандартную формулу:

 \int e^{\lambda t} \sin t dt = \frac{e^{\lambda t}}{\lambda^2 + 1} (\lambda \sin t - \cos t) 

Тогда:

 T_3(t) = e^{-9a^2 t} \cdot \left[ \frac{2 e^{9a^2 t}}{(9a^2)^2 + 1}(9a^2 \sin t - \cos t) - \frac{2 \cdot (9a^2 \cdot 0 - 1)}{(9a^2)^2 + 1} \right] 

Упростим:

 T_3(t) = \frac{2}{(9a^2)^2 + 1} \left(9a^2 \sin t - \cos t + e^{-9a^2 t} \right) 

Шаг 6: Запишем итоговое решение

 u(x,t) = T_0(t) \cos 0x + T_1(t) \cos x + T_2(t) \cos 2x + T_3(t) \cos 3x 

Подставим:

 u(x,t) = 3 + e^{-a^2 t} \cos x - 5 e^{-4a^2 t} \cos 2x + T_3(t) \cos 3x 

где:

 T_3(t) = \frac{2}{(9a^2)^2 + 1} \left(9a^2 \sin t - \cos t + e^{-9a^2 t} \right) 

✅ Проверка:

1. Начальное условие:

 u(x, 0) = 3 + \cos x - 5 \cos 2x + T_3(0) \cos 3x 

Проверим T_3(0):

 T_3(0) = \frac{2}{(9a^2)^2 + 1} (0 - 1 + 1) = 0 

Значит:

 u(x, 0) = 3 + \cos x - 5 \cos 2x = g(x)  ✅

2. Граничные условия:

 \frac{\partial u}{\partial x} = -\sin x e^{-a^2 t} + 10 \sin 2x e^{-4a^2 t} - T_3(t) \cdot 3 \sin 3x 

В точках x = 0 и x = \pi синусы обращаются в 0 ⇒ производная равна 0
✅

Ответ:

 u(x,t) = 3 + e^{-a^2 t} \cos x - 5 e^{-4a^2 t} \cos 2x + T_3(t) \cos 3x 

где

 T_3(t) = \frac{2}{(9a^2)^2 + 1} \left(9a^2 \sin t - \cos t + e^{-9a^2 t} \right)