Решить методом вариации постоянных

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Рассмотрим задачу: решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка методом вариации постоянных. Уравнение имеет вид:

y'' + 6y' + 9y = \frac{e^{-3x}}{x(x+3)}

Шаг 1. Найдем общее решение однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение:
y'' + 6y' + 9y = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид:
r^2 + 6r + 9 = 0.

Решим его:
(r + 3)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r = -3 \, (кратный корень).

Общее решение однородного уравнения:
y_h = (C_1 + C_2x)e^{-3x},
где C_1 и C_2 — произвольные константы.

Шаг 2. Найдем частное решение методом вариации постоянных

Предположим, что частное решение имеет вид:
y_p = u_1(x)e^{-3x} + u_2(x)xe^{-3x},
где u_1(x) и u_2(x) — функции, которые нужно определить.

Подставим y_p в уравнение. Для этого найдем производные:

1. Первая производная:
   y_p' = u_1'e^{-3x} + u_2'e^{-3x}x + u_1(-3e^{-3x}) + u_2(-3xe^{-3x}) + u_2e^{-3x}.

2. Вторая производная:
   y_p'' = u_1''e^{-3x} + u_2''e^{-3x}x + u_1'(-3e^{-3x}) + u_2'(-3e^{-3x})x + u_2'(-3e^{-3x}) + u_1(9e^{-3x}) + u_2(9xe^{-3x}) + u_2(-3e^{-3x}).

Чтобы упростить вычисления, введем условие:
u_1'e^{-3x} + u_2'e^{-3x}x = 0.

Тогда производные примут вид:

1. y_p' = u_1(-3e^{-3x}) + u_2(-3xe^{-3x}) + u_2e^{-3x},
2. y_p'' = u_1(9e^{-3x}) + u_2(9xe^{-3x}) + u_2(-3e^{-3x}).

Подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение и после упрощения получим систему для нахождения u_1'(x) и u_2'(x):
 \begin{cases} u_1'e^{-3x} + u_2'e^{-3x}x = 0, \ u_1'(3e^{-3x}) + u_2'(3xe^{-3x}) = \frac{e^{-3x}}{x(x+3)}. \end{cases} 

Шаг 3. Решение системы

Из первого уравнения:
u_1' = -u_2'x.

Подставим это во второе уравнение:
-u_2'x \cdot 3e^{-3x} + u_2'(3xe^{-3x}) = \frac{e^{-3x}}{x(x+3)}.

После упрощения:
u_2' \cdot 3e^{-3x} = \frac{e^{-3x}}{x(x+3)}.

u_2' = \frac{1}{3x(x+3)}.

Теперь найдем u_1':
u_1' = -u_2'x = -\frac{x}{3x(x+3)} = -\frac{1}{3(x+3)}.

Шаг 4. Найдем u_1 и u_2

1. u_2 = \int \frac{1}{3x(x+3)}dx.
   Разложим дробь:
   \frac{1}{x(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+3}.

Решая систему, получаем:
A = \frac{1}{3}, \, B = -\frac{1}{3}.

Тогда:
u_2 = \int \left(\frac{1}{3x} - \frac{1}{3(x+3)}\right) dx = \frac{1}{3}\ln|x| - \frac{1}{3}\ln|x+3| + C_2.

2. u_1 = \int -\frac{1}{3(x+3)}dx = -\frac{1}{3}\ln|x+3| + C_1.

Шаг 5. Общее решение

Подставляем u_1 и u_2 в частное решение, а затем добавляем общее решение однородного уравнения:
y = (C_1 + C_2x)e^{-3x} + \left(-\frac{1}{3}\ln|x+3|\right)e^{-3x} + \left(\frac{1}{3}\ln|x| - \frac{1}{3}\ln|x+3|\right)xe^{-3x}.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.