Решить методом вариации постоянной или методом интегрирующего множителя

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение:
y' + 2y = e^{3x}

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его методом вариации постоянной или методом интегрирующего множителя.

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель

Общее уравнение имеет вид:
y' + P(x)y = Q(x)
где P(x) = 2 и Q(x) = e^{3x}.

Интегрирующий множитель находится по формуле:
\mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int 2dx} = e^{2x}.

Шаг 2: Умножаем уравнение на интегрирующий множитель

e^{2x} y' + 2e^{2x} y = e^{2x} e^{3x}

Упрощаем правую часть:
e^{2x} y' + 2e^{2x} y = e^{5x}.

Левая часть теперь является полной производной:
\frac{d}{dx} (e^{2x} y) = e^{5x}.

Шаг 3: Интегрируем обе части

\int \frac{d}{dx} (e^{2x} y) dx = \int e^{5x} dx.

Получаем:
e^{2x} y = \frac{e^{5x}}{5} + C,
где C — произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 4: Выразим y

y = \frac{e^{5x}}{5e^{2x}} + \frac{C}{e^{2x}}.

Упрощаем:
y = \frac{e^{3x}}{5} + C e^{-2x}.

Ответ:

Общее решение дифференциального уравнения:
y = \frac{e^{3x}}{5} + C e^{-2x}.