Решить методом харектеристик

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП), уравнения гиперболического типа
Метод: Метод характеристик

Нам дано уравнение:

 U_{tt} - U_{xx} = 0 

с начальными и граничными условиями:

 U(y=0) = \tau(x) 
 U_y|_{y=0} = \vartheta(x) 
 U_x|_{x=0} = 0 
 U_x|_{x=1} = 0 

Шаг 1: Анализ уравнения

Уравнение U_{tt} - U_{xx} = 0 — это волновое уравнение, гиперболическое ДУЧП.
Обычно оно решается методом характеристик или методом Д’Аламбера. Однако, здесь переменная y используется вместо t — это, вероятно, особенность постановки задачи. Предположим, что y играет роль времени, и уравнение имеет вид:

 U_{yy} - U_{xx} = 0 

Тогда мы ищем решение на области по x \in [0, 1], y \geq 0.

Шаг 2: Метод характеристик

Для гиперболического уравнения:

 U_{yy} - U_{xx} = 0 

характеристики — это прямые:

 \xi = x + y, \quad \eta = x - y 

В этих координатах уравнение принимает вид:

 \frac{\partial^2 U}{\partial \xi \partial \eta} = 0 

Общее решение уравнения в характеристических координатах:

 U(x, y) = f(x + y) + g(x - y) 

где f и g — произвольные дважды дифференцируемые функции, определяемые начальными и граничными условиями.

Шаг 3: Начальные условия

Имеем:

 U(y=0) = \tau(x) \Rightarrow f(x) + g(x) = \tau(x) \quad \text{[1]} 

 U_y|_{y=0} = \vartheta(x) 

Вычислим U_y:

 U_y = f'(x + y) - g'(x - y) 

Подставим y = 0:

 U_y|_{y=0} = f'(x) - g'(x) = \vartheta(x) \quad \text{[2]} 

Теперь решим систему [1] и [2]:

Из [1]:

 f(x) = \tau(x) - g(x) 

Подставим в [2]:

 (\tau(x) - g(x))' - g'(x) = \vartheta(x) 

 \tau'(x) - 2g'(x) = \vartheta(x) 

Отсюда:

 g'(x) = \frac{\tau'(x) - \vartheta(x)}{2} 

Интегрируем:

 g(x) = \frac{1}{2} \tau(x) - \frac{1}{2} \int \vartheta(x) dx + C_1 

Тогда:

 f(x) = \tau(x) - g(x) = \frac{1}{2} \tau(x) + \frac{1}{2} \int \vartheta(x) dx - C_1 

Теперь запишем общее решение:

 U(x, y) = f(x + y) + g(x - y) 

Подставим выражения:

 U(x, y) = \frac{1}{2} \tau(x + y) + \frac{1}{2} \int \vartheta(x + y) dx - C_1 + \frac{1}{2} \tau(x - y) - \frac{1}{2} \int \vartheta(x - y) dx + C_1 

 U(x, y) = \frac{1}{2} [\tau(x + y) + \tau(x - y)] + \frac{1}{2} \left[ \int \vartheta(x + y) dx - \int \vartheta(x - y) dx \right] 

Замечание: Интегралы нужно понимать как функции от переменной, зависящей от x и y. Более корректно — перейти к параметру интегрирования.

Шаг 4: Граничные условия

Нам даны:

 U_x|_{x=0} = 0, \quad U_x|_{x=1} = 0 

Вычислим U_x:

 U_x = f'(x + y) + g'(x - y) 

Подставим x = 0:

 f'(y) + g'(-y) = 0 \quad \text{[3]} 

Подставим x = 1:

 f'(1 + y) + g'(1 - y) = 0 \quad \text{[4]} 

Эти условия можно использовать для уточнения функций f и g — например, при конкретных видах \tau(x) и \vartheta(x).

Вывод:

Общее решение задачи Коши для волнового уравнения с начальными условиями:

 U(x, y) = \frac{1}{2}[\tau(x + y) + \tau(x - y)] + \frac{1}{2} \int_{x - y}^{x + y} \vartheta(s) ds 

Это — классическая формула Д’Аламбера, адаптированная под обозначения задачи.

Граничные условия U_x|_{x=0} = 0 и U_x|_{x=1} = 0 накладывают дополнительные условия на функции \tau и \vartheta. Их можно использовать для определения четности/нечетности этих функций или для продолжения решения с отражением (метод зеркального отображения), если требуется.

Если ты предоставишь конкретные функции \tau(x) и \vartheta(x), я помогу построить явное решение.