Решить методом Фурье задачу со стационарными неоднородностями

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Метод Фурье для решения уравнений с частными производными

Условие задачи:

Дана задача для одномерного уравнения теплопроводности (по виду – задача стационарного распределения температуры с источником): $\text{[}{u}_t=u_{xx}-\sin x-x\cos x,\text{]}$ с начальными и граничными условиями: $\text{[}u(x,0)=\sin x,u_t(x,0)=0,\text{]}$ $\text{[}u(0,t)=0,u(\pi ,t)=0,u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0.\text{]}$

Шаг 1: Решение методом разделения переменных

Предположим, что решение представимо в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Запишем это предположение следующим образом: $\text{[}u(x,t)=v(x,t)+w(x),\text{]}$ где $\text{(}v(x,t)\text{)}$ – решение однородного уравнения, а $\text{(}w(x)\text{)}$ – решение стационарного уравнения для стационарной части системы. Подставим это разложение в исходное уравнение: $\text{[}{v}_t(x,t)+0=v_{xx}(x,t)+w_{xx}(x)-\sin x-x\cos x.\text{]}$ Поскольку $\text{(}w(x)\text{)}$ должна удовлетворять стационарной части уравнения (когда зависимость от времени отсутствует), стационарное уравнение примет вид: $\text{[}{w}_{xx}(x)=\sin x+x\cos x.\text{]}$

Шаг 2: Решение для $\text{(}w(x)\text{)}$

Решим уравнение для функции $\text{(}w(x)\text{)}$: $\text{[}{w}_{xx}(x)=\sin x+x\cos x.\text{]}$ Интегрируем дважды: 1. Первый интеграл: $\text{[}{w}_x(x)=-\cos x+(x\sin x-\cos x)+C_1,\text{]}$ где $\text{(}{C}_1\text{)}$ – константа интегрирования. 2. Второй интеграл: $\text{[}w(x)=-\sin x+(x\int \sin xdx-\cos x)+C_{1}x+C_2.\text{]}$ После упрощения получим явное выражение для $\text{(}w(x)\text{)}$.

Шаг 3: Решение однородного уравнения

Теперь перейдем к решению для $\text{(}v(x,t)\text{)}$, которое должно удовлетворять однородному уравнению: $\text{[}{v}_t=v_{xx}.\text{]}$ Решаем это уравнение методом разделения переменных, предполагая: $\text{[}v(x,t)=X(x)T(t).\text{]}$ Подставляем это в однородное уравнение и разделяем переменные: $\text{[}\frac{T^{\prime }(t)}{T(t)}=\frac{X^{″}(x)}{X(x)}=-\lambda .\text{]}$ Получаем два независимых уравнения: $\text{[}{T}^{\prime }(t)=-\lambda T(t),\text{]}$ $\text{[}{X}^{″}(x)=-\lambda X(x).\text{]}$

Для $\text{(}T(t)\text{)}$:

$\text{[}T(t)=A{e}^{-\lambda t}.\text{]}$

Для $\text{(}X(x)\text{)}$:

$\text{[}X(x)=B\sin (\sqrt{\lambda }x)+C\cos (\sqrt{\lambda }x).\text{]}$ Граничные условия $\text{(}u(0,t)=0\text{)}$ и $\text{(}u(\pi ,t)=0\text{)}$ дают: $\text{[}C=0,\sin (\sqrt{\lambda }\pi )=0\Rightarrow \lambda =n^2,n=1,2,3,\dots .\text{]}$

Шаг 4: Общее решение

Таким образом, общее решение системы будет иметь вид: $\text{[}u(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n{e}^{-n^{2}t}\sin (nx))+w(x).\text{]}$

Шаг 5: Использование начальных условий

Используем начальные условия $\text{(}u(x,0)=\sin x\text{)}$, что соответствует начальному распределению температуры: $\text{[}u(x,0)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\sin (nx)+w(x).\text{]}$ Сравниваем это с $\text{(}\sin x\text{)}$, следовательно, $\text{(}{A}_1=1\text{)}$ и все другие коэффициенты равны нулю. Таким образом, получаем окончательное решение: $\text{[}u(x,t)=e^{-t}\sin x+w(x),\text{]}$ где $\text{(}w(x)\text{)}$ – решение стационарного уравнения.

Ответ

Итак, итоговое решение задачи: $\text{[}u(x,t)=e^{-t}\sin x+w(x),\text{]}$ где $\text{(}w(x)\text{)}$ – стационарное решение, удовлетворяющее уравнению $\text{(}{w}_{xx}(x)=\sin x+x\cos x\text{)}$.