Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел: Метод Фурье для решения уравнений с частными производными
Условие задачи:
Дана задача для одномерного уравнения теплопроводности (по виду – задача стационарного распределения температуры с источником):
\[ u_t = u_{xx} - \sin{x} - x \cos{x}, \]
с начальными и граничными условиями:
\[ u(x, 0) = \sin{x}, \quad u_t(x, 0) = 0, \]
\[ u(0, t) = 0, \quad u(\pi, t) = 0, \quad u_x(0, t) = u_x(\pi, t) = 0. \]
Шаг 1: Решение методом разделения переменных
Предположим, что решение представимо в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Запишем это предположение следующим образом:
\[ u(x, t) = v(x, t) + w(x), \]
где \( v(x, t) \) – решение однородного уравнения, а \( w(x) \) – решение стационарного уравнения для стационарной части системы.
Подставим это разложение в исходное уравнение:
\[ v_t(x,t) + 0 = v_{xx}(x,t) + w_{xx}(x) - \sin{x} - x \cos{x}. \]
Поскольку \( w(x) \) должна удовлетворять стационарной части уравнения (когда зависимость от времени отсутствует), стационарное уравнение примет вид:
\[ w_{xx}(x) = \sin{x} + x \cos{x}. \]
Шаг 2: Решение для \( w(x) \)
Решим уравнение для функции \( w(x) \):
\[ w_{xx}(x) = \sin{x} + x \cos{x}. \]
Интегрируем дважды:
1. Первый интеграл:
\[ w_x(x) = -\cos{x} + (x \sin{x} - \cos{x}) + C_1, \]
где \( C_1 \) – константа интегрирования.
2. Второй интеграл:
\[ w(x) = -\sin{x} + \Big(x \int \sin{x} dx - \cos{x}\Big) + C_1x + C_2. \]
После упрощения получим явное выражение для \( w(x) \).
Шаг 3: Решение однородного уравнения
Теперь перейдем к решению для \( v(x, t) \), которое должно удовлетворять однородному уравнению:
\[ v_t = v_{xx}. \]
Решаем это уравнение методом разделения переменных, предполагая:
\[ v(x,t) = X(x) T(t). \]
Подставляем это в однородное уравнение и разделяем переменные:
\[ \frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda. \]
Получаем два независимых уравнения:
\[ T'(t) = -\lambda T(t), \]
\[ X''(x) = -\lambda X(x). \]
Для \( T(t) \):
\[ T(t) = A e^{-\lambda t}. \]
Для \( X(x) \):
\[ X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} x) + C \cos(\sqrt{\lambda} x). \]
Граничные условия \( u(0, t) = 0 \) и \( u(\pi, t) = 0 \) дают:
\[ C = 0, \quad \sin(\sqrt{\lambda} \pi) = 0 \Rightarrow \lambda = n^2, \quad n = 1, 2, 3, \dots. \]
Шаг 4: Общее решение
Таким образом, общее решение системы будет иметь вид:
\[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( A_n e^{-n^2 t} \sin(nx) \right) + w(x). \]
Шаг 5: Использование начальных условий
Используем начальные условия \( u(x, 0) = \sin{x} \), что соответствует начальному распределению температуры:
\[ u(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(nx) + w(x). \]
Сравниваем это с \( \sin{x} \), следовательно, \( A_1 = 1 \) и все другие коэффициенты равны нулю. Таким образом, получаем окончательное решение:
\[ u(x, t) = e^{-t} \sin{x} + w(x), \]
где \( w(x) \) – решение стационарного уравнения.
Ответ
Итак, итоговое решение задачи:
\[ u(x, t) = e^{-t} \sin{x} + w(x), \]
где \( w(x) \) – стационарное решение, удовлетворяющее уравнению \( w_{xx}(x) = \sin{x} + x \cos{x} \).