Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

Этот вопрос относится к предмету "Дифференциальные уравнения". Мы будем решать линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Данное уравнение: $\text{(}{y}^{″}+4y^{\prime }+4y=\cos x\text{)}$

Рассмотрим решение на двух этапах: сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Однородное уравнение: $\text{(}{y}^{″}+4y^{\prime }+4y=0\text{)}$

Решим характеристическое уравнение: $\text{(}{r}^2+4r+4=0\text{)}$

Найдем корни характеристического уравнения: $\text{(}r=\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}\text{)}$

$\text{(}r=\frac{-4\pm 0}{2}\text{)}$

$\text{(}r=-2\text{)}$

Поскольку корень кратный, общее решение однородного уравнения имеет вид: $\text{(}{y}_h=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}\text{)}$

Шаг 2: Найдём частное решение неоднородного уравнения

Для нахождения частного решения можно использовать метод неопределённых коэффициентов. Предположим, что частное решение имеет вид: $\text{(}{y}_p=A\cos x+B\sin x\text{)}$

Подставим эту форму в исходное уравнение и найдем выражения для $\text{(}A\text{)}$ и $\text{(}B\text{)}$. Вычислим первую и вторую производные:

$\text{(}{y}_p^{\prime }=-A\sin x+B\cos x\text{)}$

$\text{(}{y}_p^{″}=-A\cos x-B\sin x\text{)}$

Подставим $\text{(}{y}_p\text{)}$, $\text{(}{y}_p^{\prime }\text{)}$ и $\text{(}{y}_p^{″}\text{)}$ в исходное уравнение:

$\text{(}(-A\cos x-B\sin x)+4(-A\sin x+B\cos x)+4(A\cos x+B\sin x)=\cos x\text{)}$

Теперь группируем и упрощаем: $\text{(}(-A+4B+4A)\cos x+(-B-4A+4B)\sin x=\cos x\text{)}$

Собираем коэффициенты при $\text{(}\cos x\text{)}$ и $\text{(}\sin x\text{)}$:

$\text{(}(3A+4B)\cos x+(3B-4A)\sin x=\cos x\text{)}$

Приравниваем коэффициенты к 1 (для $\text{(}\cos x\text{)}$) и 0 (для $\text{(}\sin x\text{)}$):

$\text{(}3A+4B=1\text{)}$

$\text{(}3B-4A=0\text{)}$

Решаем систему уравнений:

1. $\text{(}4A=3B⟹B=\frac{4}{3}A\text{)}$

2. Подставляем $\text{(}B=\frac{4}{3}A\text{)}$ в первое уравнение:

$\text{(}3A+4(\frac{4}{3}A)=1\text{)}$

$\text{(}3A+\frac{16}{3}A=1\text{)}$

$\text{(}\frac{9A+16A}{3}=1\text{)}$

$\text{(}\frac{25A}{3}=1\text{)}$

$\text{(}A=\frac{3}{25}\text{)}$

Находим $\text{(}B\text{)}$:

$\text{(}B=\frac{4}{3}A=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{25}=\frac{4}{25}\text{)}$

Частное решение: $\text{(}{y}_p=\frac{3}{25}\cos x+\frac{4}{25}\sin x\text{)}$

Итоговое решение

Общее решение уравнения: $\text{(}y=y_h+y_p\text{)}$

$\text{(}y=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{3}{25}\cos x+\frac{4/25}{\sin }x\text{)}$

Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: $\text{(}y=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{3}{25}\cos x+\frac{4/25}{\sin }x\text{)}$