Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

Этот вопрос относится к предмету "Дифференциальные уравнения". Мы будем решать линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Данное уравнение: \( y'' + 4y' + 4y = \cos x \)

Рассмотрим решение на двух этапах: сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Однородное уравнение: \( y'' + 4y' + 4y = 0 \)

Решим характеристическое уравнение: \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)

Найдем корни характеристического уравнения: \( r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \)

\( r = \frac{-4 \pm 0}{2} \)

\( r = -2 \)

Поскольку корень кратный, общее решение однородного уравнения имеет вид: \( y_h = (C_1 + C_2x) e^{-2x} \)

Шаг 2: Найдём частное решение неоднородного уравнения

Для нахождения частного решения можно использовать метод неопределённых коэффициентов. Предположим, что частное решение имеет вид: \( y_p = A \cos x + B \sin x \)

Подставим эту форму в исходное уравнение и найдем выражения для \( A \) и \( B \). Вычислим первую и вторую производные:

\( y_p' = -A \sin x + B \cos x \)

\( y_p'' = -A \cos x - B \sin x \)

Подставим \( y_p \), \( y_p' \) и \( y_p'' \) в исходное уравнение:

\( (-A \cos x - B \sin x) + 4(-A \sin x + B \cos x) + 4(A \cos x + B \sin x) = \cos x \)

Теперь группируем и упрощаем: \( (-A + 4B + 4A) \cos x + (-B - 4A + 4B) \sin x = \cos x \)

Собираем коэффициенты при \( \cos x \) и \( \sin x \):

\( (3A + 4B) \cos x + (3B - 4A) \sin x = \cos x \)

Приравниваем коэффициенты к 1 (для \( \cos x \)) и 0 (для \( \sin x \)):

\( 3A + 4B = 1 \)

\( 3B - 4A = 0 \)

Решаем систему уравнений:

1. \( 4A = 3B \Longrightarrow B = \frac{4}{3}A \)

2. Подставляем \( B = \frac{4}{3}A \) в первое уравнение:

\( 3A + 4\Big(\frac{4}{3}A\Big) = 1 \)

\( 3A + \frac{16}{3}A = 1 \)

\( \frac{9A + 16A}{3} = 1 \)

\( \frac{25A}{3} = 1 \)

\( A = \frac{3}{25} \)

Находим \( B \):

\( B = \frac{4}{3}A = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{25} = \frac{4}{25} \)

Частное решение: \( y_p = \frac{3}{25} \cos x + \frac{4}{25} \sin x \)

Итоговое решение

Общее решение уравнения: \( y = y_h + y_p \)

\( y = (C_1 + C_2x)e^{-2x} + \frac{3}{25} \cos x + \frac{4/25} \sin x \)

Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: \( y = (C_1 + C_2x)e^{-2x} + \frac{3}{25} \cos x + \frac{4/25} \sin x \)