Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Мы имеем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

y' - \frac{2y}{x+1} = e^x (x+1)^2

Для решения этого уравнения используем метод нахождения общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка. Шаги решения такие:

1. Приведем уравнение к стандартному виду:

y' + P(x)y = Q(x)

В данном случае:

P(x) = -\frac{2}{x+1}

Q(x) = e^x (x+1)^2

2. Найдем интегрирующий множитель \mu(x):

\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\frac{2}{x+1} \, dx}

Вычислим интеграл:

\int -\frac{2}{x+1} \, dx = -2 \ln|x+1| = \ln|(x+1)^{-2}|

\mu(x) = e^{\ln|(x+1)^{-2}|} = (x+1)^{-2}

3. Умножим уравнение на интегрирующий множитель:

(x+1)^{-2} y' - \frac{2}{x+1}(x+1)^{-2} y = e^x (x+1)^2 (x+1)^{-2}

(x+1)^{-2} y' - \frac{2}{(x+1)^3} y = e^x

4. Проинтегрируем обе части уравнения:

\frac{d}{dx} \left( (x+1)^{-2} y \right) = e^x

Интегрируем обе части по x:

(x+1)^{-2} y = \int e^x \, dx

(x+1)^{-2} y = e^x + C

5. Решаем относительно y:

y = (x+1)^2 (e^x + C)

Таким образом, общее решение уравнения:

y = (x+1)^2 (e^x + C)