Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с использованием формулы Дюамеля

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Метод Дюамеля

Нам нужно решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с использованием формулы Дюамеля. Уравнение имеет вид:

y'' - 4y' + 4y = \frac{2e^{2t}}{\operatorname{ch}^2 (2t)}

и начальные условия:
y(0) = 0, \, y'(0) = 0.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение:
y'' - 4y' + 4y = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид:
\lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0.

Решаем его:
(\lambda - 2)^2 = 0,
то есть корень кратности 2:
\lambda = 2.

Общее решение однородного уравнения:
y_h(t) = (C_1 + C_2 t)e^{2t},
где C_1 и C_2 — произвольные константы.

Шаг 2: Формула Дюамеля

Общее решение неоднородного уравнения можно записать с использованием формулы Дюамеля:
y(t) = y_h(t) + \int_0^t G(t, \tau)f(\tau) \, d\tau,
где:

• y_h(t) — решение однородного уравнения;
• G(t, \tau) — фундаментальная функция (или функция Грина), которая имеет вид:
  G(t, \tau) = \frac{(t - \tau)e^{2(t - \tau)}}{1!} = (t - \tau)e^{2(t - \tau)};
• f(t) — правая часть уравнения.

Шаг 3: Подстановка правой части

В нашем случае правая часть:
f(t) = \frac{2e^{2t}}{\operatorname{ch}^2(2t)}.

Подставляем в формулу Дюамеля:
y(t) = \int_0^t (t - \tau)e^{2(t - \tau)} \cdot \frac{2e^{2\tau}}{\operatorname{ch}^2(2\tau)} \, d\tau.

Шаг 4: Упрощение подынтегрального выражения

Раскрываем экспоненты:
y(t) = 2\int_0^t (t - \tau)e^{2t} \cdot \frac{1}{\operatorname{ch}^2(2\tau)} \, d\tau.

Вынесем e^{2t} за знак интеграла:
y(t) = 2e^{2t} \int_0^t (t - \tau) \cdot \frac{1}{\operatorname{ch}^2(2\tau)} \, d\tau.

Шаг 5: Вычисление интеграла

Заметим, что производная гиперболического тангенса имеет вид:
\frac{d}{d\tau} \tanh(2\tau) = \frac{4}{\operatorname{ch}^2(2\tau)}.

Следовательно,
\frac{1}{\operatorname{ch}^2(2\tau)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d\tau} \tanh(2\tau).

Подставляем это в интеграл:
y(t) = 2e^{2t} \cdot \frac{1}{4} \int_0^t (t - \tau) \cdot \frac{d}{d\tau} \tanh(2\tau) \, d\tau.

Применяем интегрирование по частям:
\int u \, dv = uv - \int v \, du.

Здесь:

• u = t - \tau, \, dv = \frac{d}{d\tau} \tanh(2\tau) \, d\tau;
• du = -d\tau, \, v = \tanh(2\tau).

Тогда:
\int_0^t (t - \tau) \cdot \frac{d}{d\tau} \tanh(2\tau) \, d\tau = \Big[ (t - \tau)\tanh(2\tau) \Big]_0^t - \int_0^t \tanh(2\tau) \cdot (-1) \, d\tau.

Вычисляем:

1. \Big[ (t - \tau)\tanh(2\tau) \Big]_0^t = (t - t)\tanh(2t) - (t - 0)\tanh(0) = 0.
2. \int_0^t \tanh(2\tau) \, d\tau.

Известно, что:
\int \tanh(2\tau) \, d\tau = \frac{1}{2} \ln(\operatorname{ch}(2\tau)).

Подставляем пределы:
\int_0^t \tanh(2\tau) \, d\tau = \frac{1}{2} \ln(\operatorname{ch}(2t)) - \frac{1}{2} \ln(\operatorname{ch}(0)) = \frac{1}{2} \ln(\operatorname{ch}(2t)).

Шаг 6: Итоговое решение

Подставляем все в выражение для y(t):
y(t) = 2e^{2t} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \ln(\operatorname{ch}(2t)) = \frac{e^{2t}}{4} \ln(\operatorname{ch}(2t)).

Итак, решение уравнения:
y(t) = \frac{e^{2t}}{4} \ln(\operatorname{ch}(2t)).