Решить линейное дифференциальное уравнение пятого порядка

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

У нас дано линейное дифференциальное уравнение пятого порядка: \[ y^{(5)} - 6y^{(4)} + 9y''' = 0 \]

Для решения этого уравнения введём вспомогательную переменную \( y' = u \), где \( y''' = v \), где \( y^{(4)} = w \), где \( y^{(5)} = z \).

Однако в данном случае проще упростить исходное уравнение другим способом, а именно рассмотрев корни его характеристического уравнения.

Шаг 1: Составим характеристическое уравнение для дифференциального уравнения: \[ r^5 - 6r^4 + 9r^3 = 0 \]

Шаг 2: Найдём корни характеристического уравнения. Вынесем \( r^3 \) за скобку: \[ r^3 (r^2 - 6r + 9) = 0 \]

Шаг 3: Решим уравнение \( r^3 = 0 \). Это уравнение имеет тройной корень \( r = 0 \).

Шаг 4: Решим оставшееся квадратное уравнение: \[ r^2 - 6r + 9 = 0 \] \[ (r - 3)^2 = 0 \] Квадратное уравнение имеет двойной корень \( r = 3 \).

Итак, у нас есть три корня \( r = 0 \) (тройной корень) и два корня \( r = 3 \) (двойной корень).

Шаг 5: Запишем общее решение для дифференциального уравнения, учитывая кратность корней. Для каждого корня \( r \) кратности \( n \) общий вид решения: \( y = e^{rx}\sum_{k=0}^{n-1} c_k x^k \).

Таким образом, для нашего уравнения: \[ y = c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + (c_4 + c_5 x) e^{3x} \]

Где \( c_1, c_2, c_3, c_4, c_5 \) — произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями.

В итоге, общее решение уравнения: \[ y = c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + c_4 e^{3x} + c_5 xe^{3x} \]

Задача решена.