Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Это задание по дифференциальным уравнениям, который является частью курса высшей математики.

Перед нами линейное дифференциальное уравнение первого порядка, заданное в форме: \[ y' + \frac{y}{x+1} = \frac{\sin(x)}{x+1} \] с начальным условием \( y(\pi) = \frac{4}{\pi + 1} \). Необходимо найти \( y(0) \).

Первым шагом решим однородное уравнение: \[ y' + \frac{y}{x+1} = 0 \] Решим уравнение методом разделения переменных: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x+1} \] \[ \frac{1}{y} \, dy = -\frac{1}{x+1} \, dx \] Интегрируем обе части: \[ \int \frac{1}{y} \, dy = \int -\frac{1}{x+1} \, dx \] \[ \ln|y| = -\ln|x+1| + C_1 \] \[ \ln|y| = \ln\left|\frac{1}{x+1}\right| + C_1 \] \[ |y| = e^{C_1} \cdot \frac{1}{|x+1|} \] Обозначим \( C = e^{C_1} \), тогда \[ y = \frac{C}{x+1} \]

Теперь решим полное уравнение. Для этого используем метод вариации постоянной: \[ y = \frac{C(x)}{x+1} \] Подставляем \( y \) и \( y' \) в исходное уравнение: \[ y' = \frac{C'(x)(x+1) - C(x)}{(x+1)^2} \] \[ \frac{C'(x)(x+1) - C(x)}{(x+1)^2} + \frac{C(x)}{(x+1)^2} = \frac{\sin(x)}{x+1} \] \[ C'(x) \cdot \frac{x+1}{(x+1)^2} = \frac{\sin(x)}{x+1} \] \[ C'(x) \cdot \frac{1}{x+1} = \frac{\sin(x)}{x+1} \] \[ C'(x) = \sin(x) \] Интегрируем \( C'(x) \): \[ C(x) = -\cos(x) + C_2 \] Тогда общее решение: \[ y = \frac{-\cos(x) + C_2}{x+1} \]

Воспользуемся начальными условиями \( y(\pi) = \frac{4}{\pi + 1} \): \[ y(\pi) = \frac{-\cos(\pi) + C_2}{\pi + 1} = \frac{4}{\pi + 1} \] \[ \frac{1 + C_2}{\pi + 1} = \frac{4}{\pi + 1} \] \[ 1 + C_2 = 4 \] \[ C_2 = 3 \] Тогда окончательное решение: \[ y = \frac{-\cos(x) + 3}{x+1} \] Найдем \( y(0) \): \[ y(0) = \frac{-\cos(0) + 3}{0+1} = \frac{-1 + 3}{1} = 2 \] Таким образом, \( y(0) = 2 \).