Решить краевую задачу. Обязательно сделать проверку

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, краевые задачи, метод разделения переменных (метод Фурье)

Дана краевая задача:

 \begin{cases} u_{tt} = 9 u_{xx}, \ u_x(0,t) = u_x\left(\frac{3\pi}{4}, t\right) = 0, \ u(x,0) = 4 \cos \frac{2x}{3}, \ u_t(x,0) = \cos \frac{14x}{3} + 7 \cos \frac{10x}{3}. \end{cases} 

Шаг 1. Определение типа краевой задачи

Уравнение — волновое уравнение с постоянным коэффициентом.
Краевые условия — производная по пространственной переменной равна нулю на концах отрезка (условия Неймана).
Это классическая задача колебаний стержня с закреплёнными концами по условию нулевой производной.

Шаг 2. Решение методом разделения переменных

Ищем решение в виде:

u(x,t) = X(x) T(t).

Подставляем в уравнение:

X(x) T''(t) = 9 X''(x) T(t).

Разделяем переменные:

\frac{T''(t)}{9 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda.

Получаем две задачи:

1. Пространственная:

 \begin{cases} X'' + \lambda X = 0, \ X'(0) = 0, \ X'\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 0. \end{cases} 

2. Временная:

T'' + 9 \lambda T = 0.

Шаг 3. Решение пространственной задачи

Общее решение:

X(x) = A \cos \sqrt{\lambda} x + B \sin \sqrt{\lambda} x.

Условие X'(0) = 0 даёт:

X'(x) = -A \sqrt{\lambda} \sin \sqrt{\lambda} x + B \sqrt{\lambda} \cos \sqrt{\lambda} x,
при x=0:
X'(0) = B \sqrt{\lambda} = 0 \implies B=0.

Условие X'\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 0:

X'\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -A \sqrt{\lambda} \sin \left(\sqrt{\lambda} \frac{3\pi}{4}\right) = 0.

Для ненулевого A и \sqrt{\lambda} \neq 0:

\sin \left(\sqrt{\lambda} \frac{3\pi}{4}\right) = 0 \implies \sqrt{\lambda} \frac{3\pi}{4} = n \pi, \quad n=0,1,2,\ldots

Отсюда:

\sqrt{\lambda} = \frac{4n}{3}, \quad \lambda_n = \left(\frac{4n}{3}\right)^2 = \frac{16 n^2}{9}.

Соответствующие собственные функции:

X_n(x) = \cos \frac{4 n x}{3}.

Шаг 4. Решение временной задачи

T_n'' + 9 \lambda_n T_n = 0 \implies T_n'' + 9 \frac{16 n^2}{9} T_n = 0 \implies T_n'' + 16 n^2 T_n = 0.

Общее решение:

T_n(t) = C_n \cos 4 n t + D_n \sin 4 n t.

Шаг 5. Общее решение задачи

 u(x,t) = \sum_{n=0}^\infty \left( C_n \cos 4 n t + D_n \sin 4 n t \right) \cos \frac{4 n x}{3}. 

Шаг 6. Начальные условия

1. u(x,0) = 4 \cos \frac{2x}{3}.
   Подставляем t=0:

u(x,0) = \sum_{n=0}^\infty C_n \cos \frac{4 n x}{3} = 4 \cos \frac{2x}{3}.

2. u_t(x,0) = \cos \frac{14 x}{3} + 7 \cos \frac{10 x}{3}.
   Дифференцируем по времени:

u_t(x,t) = \sum_{n=0}^\infty \left(-4 n C_n \sin 4 n t + 4 n D_n \cos 4 n t \right) \cos \frac{4 n x}{3}.

При t=0:

u_t(x,0) = \sum_{n=0}^\infty 4 n D_n \cos \frac{4 n x}{3} = \cos \frac{14 x}{3} + 7 \cos \frac{10 x}{3}.

Шаг 7. Определение коэффициентов

Сравним с разложением по косинусам:

• Для u(x,0):

4 \cos \frac{2x}{3} = 4 \cos \frac{4 \cdot 1 \cdot x}{3},
значит C_1 = 4, остальные C_n = 0, n \neq 1.

• Для u_t(x,0):

\cos \frac{14 x}{3} = \cos \frac{4 \cdot 3.5 x}{3} — не подходит к виду \cos \frac{4 n x}{3} с целым n.
Однако в условии задачи косинусы с аргументами \frac{14x}{3} и \frac{10x}{3}, что соответствует n=3.5 и n=2.5, а у нас только целые n.

Это означает, что начальные условия заданы не в виде разложения по собственным функциям задачи с Неймановскими краевыми условиями.

Шаг 8. Анализ и вывод

Поскольку собственные функции имеют вид \cos \frac{4 n x}{3}, где n — целое, а в начальных условиях встречаются косинусы с аргументами, соответствующими дробным nu(x,t) = 4 \cos \frac{2x}{3} уравнению.

Вычислим вторые производные:

 u_{tt} = 0, \quad u_{xx} = 4 \cdot \left(- \left(\frac{2}{3}\right)^2\right) \cos \frac{2x}{3} = - \frac{16}{9} \cdot 4 \cos \frac{2x}{3} = - \frac{64}{9} \cos \frac{2x}{3}. 

Подставляем в уравнение:

u_{tt} = 9 u_{xx} \implies 0 = 9 \cdot \left(- \frac{64}{9} \cos \frac{2x}{3}\right) = -64 \cos \frac{2x}{3} \neq 0.

Значит, функция 4 \cos \frac{2x}{3} не является решением уравнения.

Итог

• Тип задачи: краевая задача для волнового уравнения с условиями Неймана на концах.
• Собственные функции: \cos \frac{4 n x}{3}, n \in \mathbb{N}_0.
• Начальные условия не разлагаются по этим собственным функциям, значит задачу с данными начальными условиями решить стандартным методом Фурье невозможно.
• Проверка начальных условий на соответствие уравнению показала несоответствие.

Если необходимо, могу помочь с решением задачи при исправленных начальных условиях.
Пожалуйста, уточните или проверьте постановку задачи.