Решить дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Этот вопрос относится к предмету математики, а конкретнее — к разделу дифференциальных уравнений.

Рассмотрим данное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: \(x^2 y' - \sqrt{x} \cos^2 y = 0.\) Для начала перепишем уравнение в удобной форме: \(x^2 \frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cos^2 y.\) Теперь разделим переменные \(x\) и \(y\): \(\frac{1}{\cos^2 y} dy = \frac{\sqrt{x}}{x^2} dx.\)

Приведем выражения к более удобному виду: \(\sec^2 y \, dy = \frac{1}{x^{3/2}} dx.\) Теперь интегрируем обе части уравнения: \(\int \sec^2 y \, dy = \int x^{-3/2} \, dx.\)

Интеграл слева дает: \(\int \sec^2 y \, dy = \tan y.\) Интеграл справа дает: \(\int x^{-3/2} \, dx = \int x^{-3/2} \, dx = \int x^{-3/2} \, dx = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -2 x^{-1/2}.\)

Таким образом, после интегрирования получаем: \(\tan y = -2 x^{-1/2} + C,\) где \(C\) — произвольная константа интегрирования. Это является общее решение данного дифференциального уравнения: \(\tan y = -2 \frac{1}{\sqrt{x}} + C,\) или, что эквивалентно, \(\tan y = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C.\)

Таким образом, мы решили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.