Решить дифференциальные уравнения 2dxy=(y-1) dx при y(1)=2

Давайте разберём данное дифференциальное уравнение и решим его пошагово.

Определение предмета и раздела

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел предмета: Дифференциальные уравнения первого порядка

Задание

Дифференциальное уравнение выглядит следующим образом:
\[ 2y \, dx = (y - 1) \, dy \]
при начальном условии \(\, y(1) = 2 \,\).

Решение

1. Приведём уравнение к стандартному виду:
Перепишем уравнение в разделённых переменных:
\[ 2y \, dx = (y - 1) \, dy \]
Разделим обе стороны уравнения на \(\, (y - 1) \,\) и \(\, 2y \,\):
\[ \frac{dy}{y - 1} = 2 \, dx \]
2. Интегрируем обе стороны:
Интеграл слева по \(\, y \,\):
\[ \int \frac{1}{y - 1} \, dy \]
Интеграл справа по \(\, x \,\):
\[ \int 2 \, dx \]
Интегрируем:
\[ \ln |y - 1| = 2x + C \]
где \(\, C \,\) — константа интегрирования.
3. Находим константу интегрирования:
Используем начальное условие \(\, y(1) = 2 \,\):
Подставим \(\, x = 1 \,\) и \(\, y = 2 \,\) в интегральное уравнение:
\[ \ln |2 - 1| = 2 \cdot 1 + C \]
\[ \ln 1 = 2 + C \]
\[ 0 = 2 + C \]
\[ C = -2 \]
4. Записываем общее решение:
Подставим найденное значение \(\, C \,\) в интегральное уравнение:
\[ \ln |y - 1| = 2x - 2 \]
Экспоненцируем обе стороны уравнения для решения относительно \(\, y \,\):
\[ |y - 1| = e^{2x - 2} \]
5. Учитываем знак модуля:
Поскольку \(\, |y - 1| \,\) может быть как положительным, так и отрицательным, у нас есть два случая:
\[ y - 1 = e^{2x - 2} \quad \text{или} \quad y - 1 = -e^{2x - 2} \]
Мы знаем, что \(\, y(1) = 2 \,\), при этом \(\, e^{2 \cdot 1 - 2} = e^0 = 1 \,\), отчего следует:
\[ y - 1 = 1 \Rightarrow y = 2 \]
Таким образом, нам подходит только первый случай.
Итоговое решение:
\[ y = 1 + e^{2x - 2} \]
Проверим это решение с начальными условиями:
При \(\, x = 1 \,\):
\[ y(1) = 1 + e^{2 \cdot 1 - 2} = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2 \]
Начальное условие выполнено.
Ответ: \(\, y = 1 + e^{2x - 2} \,\).