Решить Дифференциальное уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка)

Нам дано дифференциальное уравнение:

y \sin x - y'(y^2 + 1) = 0

Задача — найти общее решение этого уравнения.

Шаг 1: Перепишем уравнение в стандартной форме

Обозначим производную y' = \dfrac{dy}{dx}, тогда уравнение перепишется как:

y \sin x - \dfrac{dy}{dx}(y^2 + 1) = 0

Перенесем второй член вправо:

y \sin x = \dfrac{dy}{dx}(y^2 + 1)

Теперь выразим \dfrac{dy}{dx}:

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y \sin x}{y^2 + 1}

Шаг 2: Метод разделения переменных

Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Перепишем его в виде:

\dfrac{dy}{y} \cdot \left( \dfrac{y^2 + 1}{y^2} \right) = \sin x \, dx

Однако удобнее разделить переменные напрямую:

\dfrac{y^2 + 1}{y} \, dy = \sin x \, dx

Разделим переменные:

\dfrac{y^2 + 1}{y} \, dy = \sin x \, dx

Упростим левую часть:

\left( y + \dfrac{1}{y} \right) dy = \sin x \, dx

Шаг 3: Интегрируем обе части

Интегрируем левую и правую части:

\int \left( y + \dfrac{1}{y} \right) dy = \int \sin x \, dx

Вычислим интегралы:

Слева:

\int y \, dy + \int \dfrac{1}{y} \, dy = \dfrac{y^2}{2} + \ln |y|

Справа:

\int \sin x \, dx = -\cos x

Таким образом, общее решение:

\dfrac{y^2}{2} + \ln |y| = -\cos x + C

где C — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ:

Общее решение данного дифференциального уравнения:

\dfrac{y^2}{2} + \ln |y| = -\cos x + C