Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решить дифференциальное уравнение и найти его частное решение для заданных начальных условий
Условие:
Решить дифференциальное уравнение и найти его частное решение для заданных начальных условий
Решение:
Эту задачу можно отнести к разделу дифференциальных уравнений в курсе высшей математики. Давайте решим данное дифференциальное уравнение и найдём его частное решение при заданных начальных условиях. Задача: Решить дифференциальное уравнение:
\[ \frac{dy}{dx} = x^2 y \] с начальными условиями: \( y(1) = -1 \).Шаг 1: Решение уравнения методом разделения переменных
Запишем уравнение в виде, позволяющем разделить переменные \(x\) и \(y\): \[ \frac{dy}{y} = x^2 dx \]Шаг 2: Интегрирование обеих частей
Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{1}{y} dy = \int x^2 dx \] Левая часть: \[ \int \frac{1}{y} dy = \ln|y| \] Правая часть: \[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]Шаг 3: Объединение интегралов
Объединим полученные результаты: \[ \ln|y| = \frac{x^3}{3} + C \] Преобразуем к экспоненциальной форме для избавления от логарифма: \[ |y| = e^{(\frac{x^3}{3} + C)} \]Шаг 4: Упрощение выражения и нахождение мультипликативной константы
Преобразуем выражение: \[ y = \pm e^{C} e^{\frac{x^3}{3}} \] Пусть \( k = \pm e^C \), тогда: \[ y = k e^{\frac{x^3}{3}} \]Шаг 5: Нахождение константы \(k\) из начальных условий
У нас есть начальное условие: \( y(1) = -1 \). Подставим это в уравнение: \[ -1 = k e^{\frac{1^3}{3}} \] \[ -1 = k e^{\frac{1}{3}} \] \[ k = - e^{-\frac{1}{3}} \]Шаг 6: Записывание окончательного решения
Теперь мы знаем конкретное значение константы \(k\). Подставим его в общее решение: \[ y = - e^{-\frac{1}{3}} e^{\frac{x^3}{3}} \] Скомпонуем экспоненты: \[ y = - e^{\frac{x^3}{3} - \frac{1}{3}} \] Ответ: \[ y = - e^{\frac{x^3 - 1}{3}} \] Таким образом, частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях: \[ y = - e^{\frac{x^3 - 1}{3}} \]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку