Решить дифференциальное уравнение

Данное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Здесь y - это функция от переменной x, а y' обозначает её производную по x. Уравнение имеет вид: 2xy' - y' = 3x^2, Для его решения предлагаю использовать метод разделения переменных. Первым делом обозначим y' как dy/dx, чтобы подчеркнуть, что это производная y по x: 2x(dy/dx) - (dy/dx) = 3x^2. Теперь мы можем вынести dy/dx за скобки: (dy/dx)(2x - 1) = 3x^2.

Далее разделим переменные, оставив все, что содержит y (и его производные) с одной стороны уравнения, а всё, что содержит x - с другой: dy/dx = 3x^2 / (2x - 1). Теперь проинтегрируем обе части уравнения по соответствующим переменным. Слева интегрируем по dy, справа по dx: ∫ dy = ∫ (3x^2 / (2x - 1)) dx. Интеграл слева даст нам y (плюс константу интегрирования C), а интеграл справа потребует провести деление многочленов или использование другого метода интегрирования, например, подведения под знак дифференциала.

Рассмотрим интеграл справа подробнее. Предположим, что числитель может быть выражен как производная знаменателя, плюс возможно, какое-то дополнительное слагаемое. Производная 2x - 1 равна 2. Попробуем представить 3x^2 в виде 2x - 1, умноженного на некоторую функцию от x плюс константу, чтобы упростить интеграл. Это нас приводит к дифференцированию, и здесь нам нужно будет добавить и вычесть член, так чтобы в числителе получился требуемый для дифференцирования знаменатель: 3x^2 = (2x - 1)(Ax + B) + C.

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x, чтобы найти A, B и C. Теперь давайте найдем коэффициенты A, B и C. Ax(2x) + B(2x) - Ax - B + C = 3x^2. Раскроем скобки: 2Ax^2 + 2Bx - Ax - B + C = 3x^2. Теперь сгруппируем члены: (2A - A)x^2 + (2B - 1)x + (C - B) = 3x^2 + 0x + 0. Отсюда видно, что: 1) 2A - A = 3, то есть A = 3, 2) 2B - 1 = 0, то есть B = 1/2, 3) C - B = 0, то есть C = B = 1/2. Следовательно, разложение примет вид: 3x^2 = (2x - 1)(3/2x + 1/2) + 0. Теперь можно интегрировать: ∫ dy = ∫ (3/2x + 1/2) / (2x - 1) dx.

Решим интеграл справа: ∫ (3/2x + 1/2) / (2x - 1) dx = (3/2)∫ dx / (2x - 1) + (1/2)∫ dx / (2x - 1). Первый интеграл можно решить с помощью замены переменной, второй — это интеграл от дифференциала логарифмической функции: (3/2)∫ dx / (2x - 1) = (3/4)ln|2x - 1|, (1/2)∫ dx / (2x - 1) = (1/4)ln|2x - 1|. Таким образом, получаем: y + C = (3/4)ln|2x - 1| + (1/4)ln|2x - 1| = ln|2x - 1|^(3/4 + 1/4) = ln|2x - 1|. y = ln|2x - 1| + C. Это решение исходного дифференциального уравнения.