Решить дифференциальные уравнения второго порядка

Данное задание состоит из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Это математическое задание, относящееся к курсу дифференциальных уравнений. Начнем с первого уравнения: \[ y'' - y' - 2y = 4 \] Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Теперь разложим его на две части: общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения.

Шаг 1: Решим однородное уравнение \( y'' - y' - 2y = 0 \).

Рассмотрим характеристическое уравнение: \[ r^2 - r - 2 = 0 \]

Шаг 2: Найдём корни характеристического уравнения.

Решение: \[ r^2 - r - 2 = 0 \] \[ (r - 2)(r + 1) = 0 \] В результате получаем корни: \[ r_1 = 2 \] \[ r_2 = -1 \]

Шаг 3: Общее решение однородного уравнения: \[ y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \]

Шаг 4: Найдём частное решение неоднородного уравнения. Для этого используем метод неопределенных коэффициентов. Предположим, что частное решение имеет вид: \[ y_p = A \] Так как правая часть уравнения — постоянное число \( 4 \), берем частное решение в виде константы \( y_p = A \).

Шаг 5: Подставим частное решение в исходное уравнение: \[ y_p'' - y_p' - 2y_p = 4 \] Так как y_p'' = 0 и y_p' = 0, наше уравнение преобразуется в: \[ - 2A = 4 \]

Шаг 6: Решим уравнение для A: \[ A = -2 \]

Шаг 7: Общее решение полного уравнения: \[ y = y_h + y_p \] \[ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} - 2 \]

Теперь запишем искомое решение: \[ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} - 2 \]

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения: \[ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} - 2 \]